[论文解读] Upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable model of set theory

Joel David Hamkins|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文研究了可数传递模型 ZFC 的泛化多世界中的向上封闭性与合并性。证明了虽然某些力迫扩张（例如添加 Cohen 实数）无法被合并，但 Cohen 实数扩张的链总是能被一个单一的 Cohen 实数扩张所上界定，从而为这类力迫确立了向上可数封闭性。关键结果是，每个可数的 Cohen 实数扩张塔在形式上都有一个单一 $W$-通用 Cohen 实数扩张作为上界。

ABSTRACT

I prove several theorems concerning upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable transitive model of set theory. Every such model $W$ has forcing extensions $W[c]$ and $W[d]$ by adding a Cohen real, which cannot be amalgamated in any further extension, but some nontrivial forcing notions have all their extensions amalgamable. An increasing chain $W[G_0]\subseteq W[G_1]\subseteq\cdots$ has an upper bound $W[H]$ if and only if the forcing had uniformly bounded essential size in $W$. Every chain $W\subseteq W[c_0]\subseteq W[c_1]\subseteq\cdots$ of extensions adding Cohen reals is bounded above by $W[d]$ for some $W$-generic Cohen real $d$.

研究动机与目标

• 研究泛化多世界中的力迫扩张是否可以被合并为一个共同的扩张。
• 确定递增的力迫扩张链在何种条件下具有上界。
• 阐明泛化多世界在封闭性与方向性性质方面的结构。
• 分析 Cohen 实数扩张在向上封闭性与合并性方面的行为。

提出的方法

• 通过有限次修改可数塔 $W[c_n]$ 扩张中每个实数的若干位数，构造一个新的 $W$-通用 Cohen 实数 $d$。
• 使用力迫概念 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ 添加 $\omega$ 个 Cohen 实数，其同构于添加一个单一的 Cohen 实数。
• 枚举力迫偏序集的所有稠密 $G_\delta$ 子集，以确保所构造实数 $d$ 的通用性。
• 采用对角化风格的构造方法，确保实数的每个阶段 $d_n$ 与稠密集 $D_n$ 中的某个条件兼容。
• 将力迫 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ 分解为 $\mathop{\rm Add}(\omega,n) \times \mathop{\rm Add}(\omega,[n,\omega))$，以在每个阶段管理兼容性。
• 证明所得到的实数 $d = \oplus_n d_n$ 是 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ 的 $W$-通用实数，因此 $W[d]$ 是通过添加一个单一 Cohen 实数得到的力迫扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个添加 Cohen 实数的力迫扩张 $W[c]$ 和 $W[d]$ 是否可以被合并为一个共同的扩张 $W[e]$？
• RQ2 在何种条件下，递增的可数力迫扩张链 $W[c_0] \subseteq W[c_1] \subseteq \cdots$ 在泛化多世界中具有上界？
• RQ3 所有 $W$-通用 Cohen 实数扩张是否具有向上可数封闭性？
• RQ4 所有力迫概念是否都允许其扩张的合并？是否存在例外？
• RQ5 泛化多世界中的包含关系是否与力迫扩张关系一致？

主要发现

• 每个可数的 $W$-通用 Cohen 实数扩张塔 $W[c_0] \subseteq W[c_1] \subseteq \cdots$ 都存在一个上界 $W[d]$，其中 $d$ 是某个 $W$-通用 Cohen 实数，从而证明了向上可数封闭性。
• 上界 $W[d]$ 是通过有限次修改每个 $c_n$ 以生成实数 $d = \oplus_n d_n$ 而构造的，该实数是 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ 的 $W$-通用实数，而 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ 同构于添加一个单一 Cohen 实数。
• 该构造确保对所有 $n$ 都有 $W[c_n] \subseteq W[d]$，且 $d$ 是 $W$-通用的，因此 $W[d]$ 是通过添加一个单一 Cohen 实数得到的力迫扩张。
• 并非所有力迫扩张都可被合并；例如，两个 Cohen 实数扩张可能不存在共同的进一步扩张。
• 当且仅当涉及的力迫概念在 $W$ 中具有统一有界的本质大小时，力迫扩张链才具有上界，这推广了 Cohen 实数的情形。
• 所构造的实数 $d$ 不仅是 $W$-通用的，而且对每个 $n$ 都是 $W[c_n]$-通用的，显示出强通用性保持性。