[论文解读] Use of Complex Lie Symmetries for Linearization of Systems of Differential Equations - I: Ordinary Differential Equations

Sajid Ali, F. M. Mahomed+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文将李的可线性化判别准则扩展至复变常微分方程（r-CODEs），表明通过复点变换可对两个实变量的非线性常微分方程组实现线性化。通过将复解分解为实部分量，该方法系统地推导出可线性化耦合非线性常微分方程组的不变判别准则与变换，为高阶及耦合系统提供了一种比传统实变量方法更高效的替代方案。

ABSTRACT

The Lie linearizability criteria are extended to complex functions for complex ordinary differential equations. The linearizability of complex ordinary differential equations is used to study the linearizability of corresponding systems of two real ordinary differential equations. The transformations that map a system of two nonlinear ordinary differential equations into systems of linear ordinary differential equations are obtained from complex transformations. Invariant criteria for linearization are given for second order complex ordinary differential equations in terms of the coefficients of the equations, as well as the corresponding real system, which provide procedures for writing down the solutions of the equations. Illustrative examples are given and discussed.

研究动机与目标

• 将二阶实常微分方程的李可线性化判别准则推广至单个实变量的复函数（r-CODEs）。
• 建立基于复变换的二阶r-CODE可线性化的不变判别准则。
• 证明两个非线性实常微分方程的系统可通过其对应r-CODE的变换实现线性化。
• 提供一种系统化方法，通过复积分构造将非线性系统映射为线性形式的点变换。
• 探讨复解中复常数的含义，及其在生成耦合非线性常微分方程组实解中的作用。

提出的方法

• 利用复点变换将非线性r-CODE映射为线性r-CODE，例如将 $ u' + u^2 = 0 $ 变换为 $ U' = 0 $。
• 将复函数 $ u(x) = y(x) + iz(x) $ 分解，将r-CODE转换为两个实常微分方程的系统。
• 以系数函数表示r-CODE线性化的李相容性条件。
• 应用由复变换导出的不变判别准则，判断实系统是否可线性化。
• 通过复积分获得含复常数的通解，再将其分解为实常数，以得到实常微分方程组的解。
• 将复解映射为实形式，确保r-CODE解与其对应实系统解之间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 李的实常微分方程可线性化判别准则如何推广至单个实变量的复函数？
• RQ2 通过复变换实现二阶r-CODE可线性化的不变判别准则是什么？
• RQ3 复点变换如何导致两个耦合非线性实常微分方程组的线性化？
• RQ4 r-CODE的对称性与对应实系统之间的关系如何，特别是从李点对称性的角度？
• RQ5 能否系统性地利用r-CODE的复解生成耦合非线性常微分方程组的实解？

主要发现

• 二阶r-CODE的可线性化性由以方程系数表示的不变判别准则决定。
• 通过可逆复点变换对r-CODE进行变换，可实现两个实常微分方程非线性系统的线性化。
• 含复常数的r-CODE解在分解为实部与虚部后，可产生对应常微分方程组的实解。
• 通过 $ \chi = x, U = (1/u) - x $ 的变换将 $ u' + u^2 = 0 \to U' = 0 $，表明即使看似简单的复映射，也能产生非平凡的实变换。
• 系统 $ y'' = -y, z'' = -z $ 对应于r-CODE $ u'' + u = 0 $，验证了复解与实解结构之间的一致性。
• 该方法通过利用复对称结构，为线性化四阶二阶常微分方程组提供了比现有实变量方法更高效的替代方案。