[论文解读] Using an implicit function to prove common fixed point theorems

Mohammad Imdad, Rqeeb Gubran+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的隐函数框架，用于统一并推广有序度量空间中常见的不动点定理，将Ćirić的拟压缩结果推广到非线性、序理论设定下。该文在广义压缩条件下证明了公共不动点的存在性与唯一性，并展示了T-S序列收敛于不动点，同时在度量空间中对Berinde与Vetro的结果进行了精细化。

ABSTRACT

In this paper, we prove common fixed point results for a self-mappings satisfying an implicit function which is general enough to cover a multitude of known as well as unknown contractions. Our results modify, unify, extend and generalize many relevant results of the existing literature. Interestingly, unlike several other cases, our main results deduce a nonlinear order-theoretic version of a well-known fixed point theorem (proved for quasi-contraction) due to Ćirić (Proc. Amer. Math. Soc. (54) 267-273, 1974). Finally, in the setting of metric spaces, we drive a sharpened version of Theorem 1 due to Berinde and Vetro (Fixed Point Theory Appl. 2012:105).

研究动机与目标

• 使用单一隐函数统一并推广不动点理论中已知与未知的各类压缩条件。
• 通过隐函数方法，将Ćirić的经典拟压缩不动点定理推广至序理论与非线性设定。
• 通过提供在度量空间中更精细且正确的版本，纠正并完善Berinde与Vetro（2012）的错误序理论结果。
• 建立一对自映射具有唯一公共不动点的条件，并确保T-S序列的收敛性。
• 通过引入新的正则性与相容性条件（如I-正则性、O-相容性）推广并扩展文献中的现有结果。

提出的方法

• 定义一个广义隐函数 $ F \in \mathfrak{F} $，其可涵盖多种压缩类型，包括拟压缩与基于比较函数的压缩。
• 引入新概念，如 $ S $-递增/递减映射、$ T $-$ S $-序列以及 $ (T,S) $-定向集，以处理序理论结构。
• 使用 $ \overline{\rm O} $-相容性、$ \underline{\rm O} $-相容性与弱相容性，以确保不动点的收敛性与唯一性。
• 应用 $ I $-正则性与 $ D $-正则性条件，以保证 $ T $-$ S $-序列的极限位于适当的集合中。
• 构建一个框架，使得隐不等式 $ F(d(Tx,Ty), d(Sx,Sy), \dots) \leq 0 $ 蕴含重合点的存在性。
• 在弱相容性与定向性条件下，证明 $ T $-$ S $-序列收敛于唯一的公共不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过单一隐函数框架统一并推广公共不动点理论中广泛存在的各类已知压缩条件？
• RQ2 能否通过隐函数方法将Ćirić的拟压缩不动点定理推广至序理论与非线性设定？
• RQ3 在有序度量空间中，确保公共不动点存在性与唯一性的最小条件（如正则性、相容性、定向性）是什么？
• RQ4 在度量空间背景下，如何纠正并精细化Berinde与Vetro（2012）关于重合点的结果？
• RQ5 在何种条件下，$ T $-$ S $-序列收敛于唯一的公共不动点？

主要发现

• 所提出的隐函数框架推广了大量已知的压缩条件，包括拟压缩与基于比较函数的压缩。
• 建立了Ćirić不动点定理的非线性序理论版本，将其推广至具有 $ S $-单调映射的有序度量空间。
• 本文纠正了Berinde与Vetro（2012）序理论结果中的错误，并在度量空间中提供了定理1的正确且精细化的版本。
• 在弱相容性与 $ (T,S) $-定向性（或全序）条件下，对 $ (T,S) $ 存在唯一的公共不动点。
• 对任意初始点 $ x_0 $，$ T $-$ S $-序列 $ \{Tx_n\} $ 收敛于唯一的公共不动点。
• 通过反例表明，线性形式的压缩（当 $ k \geq 1/2 $ 时）不成立，证明了基于比较函数的非线性形式是本质性的，无法被线性形式替代。