[论文解读] Using an old method of Jacobi to derive Lagrangians: a nonlinear dynamical system with variable coefficients

M. C. Nucci, K. M. Tamizhmani|ArXiv.org|Jul 17, 2008

Complex Systems and Time Series AnalysisEconomics, Econometrics and Finance参考文献 15被引用 20

一句话总结

本文展示了雅可比最后乘子法为推导具有变系数的二阶非线性常微分方程（如 $\ddot{x} + b(x)\dot{x}^2 + c(x)x = 0$）的拉格朗日量提供了一种强大且系统化的方法。与穆西拉克等人所需繁琐计算相比，雅可比方法不仅得到与之相同的特定拉格朗日量，还通过利用首次积分和乘子相乘，生成了无穷多个不同的拉格朗日量，揭示了新解，并凸显了与李对称性和诺特定性之间的深层联系。

ABSTRACT

We present a method devised by Jacobi to derive Lagrangians of any second-order differential equation: it consists in finding a Jacobi Last Multiplier. We illustrate the easiness and the power of Jacobi's method by applying it to the same equation studied by Musielak et al. with their own method [Musielak ZE, Roy D and Swift LD. Method to derive Lagrangian and Hamiltonian for a nonlinear dynamical system with variable coefficients. Chaos, Solitons & Fractals, 2008;58:894-902]. While they were able to find one particular Lagrangian after lengthy calculations, Jacobi Last Multiplier method yields two different Lagrangians (and many others), of which one is that found by Musielak et al, and the other(s) is(are) quite new.

研究动机与目标

• 展示雅可比最后乘子法在推导具有变系数的二阶非线性常微分方程拉格朗日量方面的有效性和简便性。
• 将雅可比方法与穆西拉克等人更为计算密集的方法进行比较，后者经过冗长计算仅得到一个拉格朗日量。
• 表明雅可比方法不仅产生一个拉格朗日量，还产生无穷多个不同的拉格朗日量，包括穆西拉克等人发现的那个以及此前未知的新拉格朗日量。
• 强调在拉格朗日力学背景下，雅可比最后乘子、李对称性和诺特定性之间的深层联系。

提出的方法

• 该方法使用雅可比最后乘子（JLM）$ M $，其定义为由向量场与 $ n-1 $ 个独立首次积分构成的矩阵的行列式的倒数。
• JLM 满足线性偏微分方程 $ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial(M a_i)}{\partial x_i} = 0 $，且该方程的每一个解都是有效的 JLM。
• 给定一个已知的 JLM $ M_1 $，将其与方程的任意首次积分 $ I $ 相乘，可得到另一个 JLM $ M_2 = M_1 I $，从而生成一个新的拉格朗日量。
• 由 JLM $ M $ 推导出的一般拉格朗日量形式为 $ L = \frac{1}{2} M \dot{x}^2 + f_1(t,x)\dot{x} + f_2(t,x) $，其中 $ f_1 $ 和 $ f_2 $ 需满足涉及 $ M $ 和方程系数的特定相容性条件。
• 该方法利用已知的李点对称性（特别是 $ \partial_t $，即诺特对称性）来生成首次积分，进而用于生成新的 JLM 和拉格朗日量。
• 该过程是迭代的：通过连续将 JLM 与首次积分 $ I_1 $ 的幂相乘，可生成无穷多个不同的 JLM 及其对应的拉格朗日量。

实验结果

研究问题

• RQ1 雅可比最后乘子法能否高效地为具有变系数的二阶非线性常微分方程（如 $ \ddot{x} + b(x)\dot{x}^2 + c(x)x = 0 $）推导出拉格朗日量？
• RQ2 与穆西拉克等人的方法相比，雅可比最后乘子法在复杂度和普适性方面如何？
• RQ3 雅可比最后乘子法是否不仅产生一个，而是产生无穷多个拉格朗日量？
• RQ4 在拉格朗日力学背景下，雅可比最后乘子、李对称性和诺特定性之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过利用首次积分，系统地推导出新的、此前未知的拉格朗日量？

主要发现

• 方程 $ \ddot{x} + b(x)\dot{x}^2 + c(x)x = 0 $ 的雅可比最后乘子为 $ M_1 = e^{2P_b(x)} $，其中 $ P_b(x) = \int b(x)\,dx $，该结果可直接导出一般拉格朗日量形式。
• 该方法不仅产生一个拉格朗日量，还产生无穷多个不同的拉格朗日量，包括穆西拉克等人通过冗长计算先前发现的那个。
• 通过将第一个 JLM $ M_1 $ 与首次积分 $ I_1 = \frac{1}{2}e^{2P_b}\dot{x}^2 + \int e^{2P_b}c(x)x\,dx $ 相乘，得到 $ M_2 = M_1 I_1 $，从而导出第二个有效的拉格朗日量 $ L_2 $。
• 通过将 $ M_1 $ 与 $ I_1 $ 的更高次幂相乘，可进一步生成更多拉格朗日量，例如 $ M_3 = M_1 I_1^2 $，这将产生一个关于 $ \dot{x} $ 呈四次依赖关系的第三拉格朗日量 $ L_3 $。
• 所有推导出的拉格朗日量均具有时间平移对称性 $ \partial_t $ 作为诺特对称性，其对应的首次积分是能量型积分 $ I_1 $ 的幂。
• 该方法证实，首次积分的存在使得通过简单的代数乘法即可生成新的 JLM 和新的拉格朗日量，从而展示了该方法的可扩展性与强大性。