[论文解读] Using D-operators to construct orthogonal polynomials satisfying higher order q-difference equations

R. Álvarez-Nodarse, Antonio J. Durán|Deposito de Investigacion Universidad de Sevilla (University of Seville)|Sep 12, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出一种新颖方法，利用 D-算子通过线性组合系数序列 (βₙ) 对 q-Meixner 和 q-Laguerre 多项式进行修改，构造 q-Krall 多项式——即既是正交多项式又为高阶 q-差分算子特征函数的多项式。关键贡献在于系统性地构造此类多项式，其正交测度通过 Christoffel 变换获得，使得多项式成为阶数为 2k+2 或 2α+2 的 q-差分算子的特征函数。

ABSTRACT

Let $(p_n)_n$ be either the $q$-Meixner or the $q$-Laguerre polynomials. We form a new sequence of polynomials $(q_n)_n$ by considering a linear combination of two consecutive $p_n$: $q_n=p_n+β_np_{n-1}$, $β_n\in \RR$. Using the concept of $\D$-operator, we generate sequences $(β_n)_n$ for which the polynomials $(q_n)_n$ are orthogonal with respect to a measure and common eigenfunctions of a higher order $q$-difference operator.

研究动机与目标

• 将 Krall 多项式理论扩展至 q-差分设定，通过经典 q-正交多项式构造 q-Krall 多项式。
• 解决生成同时为高阶 q-差分算子共同特征函数的正交多项式这一开放问题，即 Krall 经典问题的 q-模拟。
• 开发一种系统方法，利用 D-算子生成序列 (βₙ)，使得经修改的多项式 qₙ = pₙ + βₙpₙ₋₁ 为正交多项式，并为高阶 q-差分算子的特征函数。
• 将所得正交测度表征为原始 q-Meixner 和 q-Laguerre 测度的 Christoffel 变换，包含多项式因子与 Dirac delta 函数。

提出的方法

• 定义与 q-经典多项式序列（q-Meixner 或 q-Laguerre）以及有限阶 q-差分算子代数 A_q 相关的 D-算子。
• 利用 D-算子生成系数序列 (βₙ)，使得经修改的多项式 qₙ = pₙ + βₙpₙ₋₁（其中 p₋₁ = 0）关于变换后的测度正交。
• 将正交测度构造为 Christoffel 变换：μ = w(x)ρ，其中 ρ 为原始 q-Meixner 或 q-Laguerre 测度，w(x) 为多项式因子。
• 对于 q-Meixner，三个不同的 D-算子产生三组不同的 (βₙ) 序列，每组生成关于不同测度正交的 qₙ。
• 对于 q-Laguerre，使用 Al-Salam-Carlitz 多项式，并通过包含 0 处 Dirac delta 的矩泛函定义 βₙ：γₙ = vₖ¹ᐟqᵃ;𝑞(qⁿ)，且 βₙ = γₙ₊₁/γₙ。
• 通过验证 D-算子结构下的特征值方程，证明所得多项式 qₙ 为阶数 2k+2（q-Meixner 情形）或 2α+2（q-Laguerre 情形）的 q-差分算子的特征函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 D-算子能否系统性地用于生成为高阶 q-差分算子特征函数的 q-Krall 多项式？
• RQ2 系数序列 (βₙ) 需满足何种条件，才能保证经修改的多项式 qₙ = pₙ + βₙpₙ₋₁ 关于变换后的测度保持正交？
• RQ3 所得正交测度与原始 q-Meixner 和 q-Laguerre 测度之间有何关系？多项式因子与 Dirac delta 起到何种作用？
• RQ4 所构造的 qₙ 作为特征函数的 q-差分算子的确切阶数为何？其如何依赖于参数 k 或 α？
• RQ5 该方法能否推广至其他 q-经典家族？此类构造中系数序列 (βₙ) 的结构约束为何？

主要发现

• 对于 q-Meixner 多项式，三个不同的 D-算子生成三组不同的 (βₙ) 序列，每组均产生关于阶数为 2k+2 的 q-差分算子正交且为特征函数的 qₙ 多项式族。
• qₙ 的正交测度为 q-Meixner 测度的 Christoffel 变换，具体形式为 μ = w(x)ρ，其中 w(x) 为 k 次多项式。
• 对于 α 为正整数的 q-Laguerre 多项式，该构造产生关于 (2α+2) 阶 q-差分算子正交且为特征函数的 qₙ 多项式。
• 系数序列 βₙ 显式定义为 βₙ = -γₙ₊₁ / [(1 - q^{α+n})γₙ]，其中 γₙ = 1 + M(q^{α+1};q)ₙ / (q;q)ₙ，确保其关于测度 μ = Mδ₀ + ρ_{α-1}^q 正交。
• 该方法证实所构造的 q-Krall 多项式为高阶 q-差分算子的特征函数，推广了 Grünbaum 与 Haine 的早期结果。
• 猜想表明，对于任意有限正整数集 F，测度 ∏_{f∈F}(1 + xq^f)ρ_α^q 生成的 q-Krall 多项式为阶数 2∑f∈F f - n_F(n_F - 1) + 2 的 q-差分算子的特征函数。