[论文解读] Using evolutionary computation to create vectorial Boolean functions with low differential uniformity and high nonlinearity

James McLaughlin, John A. Clark|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 40被引用 10

一句话总结

本文将模拟退火、记忆启发式算法和蚁群优化应用于演化向量布尔函数（S盒），以实现低差分均匀性和高非线性——这是密码学安全的关键标准。蚁群系统在性能上优于其他元启发式算法，在5×5函数中成功生成了68%的S盒，其差分均匀性为2，达到理论界限。

ABSTRACT

The two most important criteria for vectorial Boolean functions used as S-boxes in block ciphers are differential uniformity and nonlinearity. Previous work in this field has focused only on nonlinearity and a different criterion, autocorrelation. In this paper, we describe the results of experiments in using simulated annealing, memetic algorithms, and ant colony optimisation to create vectorial Boolean functions with low differential uniformity. Keywords: Metaheuristics, simulated annealing, memetic algorithms, ant colony optimization, cryptography, Boolean functions, vectorial Boolean functions.

研究动机与目标

• 开发并评估用于构建具有最优差分均匀性和非线性的S盒的元启发式算法。
• 探究进化计算是否能够匹配或超越块密码中S盒设计的理论界限。
• 比较模拟退火、记忆启发式算法和蚁群优化在该NP难组合问题上的有效性。
• 探索参数调优与代价函数设计，以提升收敛速度和解的质量。
• 评估将这些方法扩展至更大S盒（n ≥ 6）的可行性，此时搜索空间会急剧膨胀。

提出的方法

• 采用模拟退火，其适应度函数旨在最小化线性近似表中与零的偏差，随后通过爬山法优化非线性度。
• 使用记忆启发式算法，采用自定义交叉函数且不使用变异，重点在于全局探索后的局部搜索优化。
• 应用蚁群系统和Luke ACS（蚁群优化），采用信息素更新规则，并基于差分均匀性和非线性度设计启发式信息。
• 定义动态代价函数，根据部分解对S盒真值表中边的评估，调整其对均匀性和非线性度的累积影响。
• 对关键变量进行参数调优：模拟退火中的冷却速率、记忆启发式算法中的交叉和变异率，以及蚁群算法中的信息素蒸发率ρ = 0.1。
• 通过定理1.21限制S盒输出值以减少搜索空间，但因性能下降而最终在后续实验中放弃。

实验结果

研究问题

• RQ1 元启发式搜索能否匹配S盒在差分均匀性为2且非线性度高的最佳已知理论结果？
• RQ2 在S盒构造问题中，模拟退火、记忆启发式算法和蚁群优化中哪种元启发式算法表现最佳？
• RQ3 不同的代价函数和参数设置如何影响收敛速度和解的质量？
• RQ4 通过定理1.21施加真值表约束是否能提升搜索效率和解的质量？
• RQ5 采用具有低差分均匀性的子函数的分治方法是否能带来更优的整体S盒构造？

主要发现

• 蚁群系统在5×5函数中成功生成了68%的S盒，其差分均匀性为2，优于记忆启发式算法和模拟退火。
• 蚁群系统方法仅耗时19小时多一点，而最佳记忆启发式算法运行耗时34小时。
• 采用两阶段代价函数——首先使线性近似表趋于平坦，然后最大化非线性度——显著提升了解的质量。
• 通过定理1.21限制S盒输出值导致所有元启发式算法性能下降，因此在后续实验中被放弃。
• 对于n ≥ 6，所有方法均未能实现差分均匀性2，表明搜索空间的指数级增长限制了当前方法的适用性。
• Luke ACS与蚁群系统表现出相似的性能趋势，但蚁群系统在所有参数设置下均持续优于Luke ACS。