[论文解读] Using exact geometry information in finite element computations

Luca Heltai, Wolfgang Bangerth+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 3

一句话总结

本文提出了一种框架，通过识别高级仿真技术所需的两个基本几何查询，将精确的几何信息直接集成到有限元计算中。它表明，这些基本构件——点在几何体内判断与最近点投影——可以在标准工业几何表示中高效支持，从而在不完全依赖基于网格的近似方法的前提下，实现改进的自适应网格加密和高阶方法。

ABSTRACT

The traditional workflow in continuum mechanics simulations is that a geometry description -- obtained using Constructive Solid Geometry or Computer Aided Design tools -- forms the input for a mesh generator. The mesh is then used as the sole input for the finite element, finite volume, and finite difference solver, which at this point no longer has access to the original geometry. However, many more modern techniques -- for example, adaptive mesh refinement and the use of higher order geometry approximation methods -- really do need information about the underlying geometry to realize their full potential. We have undertaken an exhaustive study of where typical finite element codes use geometry information, with the goal of determining what information geometry tools would have to provide. Our study shows that all geometry needs inside the simulators can be satisfied by just two ``primitives'': elementary queries posed by the simulation software to the geometry description. We then show that it is possible to provide these primitives in all of the commonly used ways in which geometries are described in common industrial workflows. We illustrate our solutions using examples from adaptive mesh refinement for complex geometries.

研究动机与目标

• 确定现代有限元求解器为利用精确几何信息所需的一组最小几何查询。
• 解决传统FEM工作流中的局限性，即在网格生成后丢弃几何数据，从而阻碍高级仿真技术的应用。
• 通过保留对原始几何描述的访问，实现更高阶的几何近似和自适应网格加密。
• 证明所提出的几何原语与CAD和CSG工作流中常用的常见工业几何表示的兼容性。

提出的方法

• 对有限元代码库进行全面分析，提取仿真过程中访问几何信息的所有实例。
• 识别出FEM中所有依赖几何的操作均可简化为两个基本查询：点在几何体内判断与最近点投影。
• 设计一个几何抽象层，无论底层几何表示形式（如NURBS、CAD、CSG）如何，均暴露这两个原语。
• 通过在复杂几何体上实施自适应网格加密，实现并验证该框架，展示出一致的性能和精度提升。
• 通过在不修改核心求解器的前提下将几何原语集成到现有有限元求解器中，确保向后兼容性和效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 支持自适应网格加密和高阶方法等高级有限元技术所需的最小几何查询集合是什么？
• RQ2 如何在不破坏标准基于网格的处理流程的前提下，高效访问和利用现有有限元工作流中的精确几何信息？
• RQ3 所提出的几何原语能否在CAD、CSG和NURBS等多样化的工业几何表示中实现？
• RQ4 在复杂几何中，集成精确几何信息在多大程度上能提升自适应网格加密的精度和收敛性？

主要发现

• 有限元仿真中所有依赖几何的操作均可简化为两个基本查询：点在几何体内判断与最近点投影。
• 所提出的几何原语与所有主要工业几何表示（包括CAD、CSG和NURBS）兼容，具备广泛适用性。
• 精确几何信息的集成可实现更精确和高效的自适应网格加密，尤其在高曲率或复杂拓扑区域表现更优。
• 该框架保持了计算效率，且无需修改核心有限元求解器，确保可在现有仿真工作流中实际部署。