[论文解读] Using Markov chains to determine expected propagation time for probabilistic zero forcing

Yu Chan, Emelie Curl+5 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2019

Game Theory and Applications参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文使用马尔可夫链推导出图上随机零 forcing 的期望传播时间（ept）的精确公式。它证明了对于任意阶为 n 的连通图 G，有 ept(G) = O(n)，并为完全图、完全二分图及其他图族提供了闭式表达式和界限，解决了关于添加边的影响以及随机图中对数增长的开放问题。

ABSTRACT

Zero forcing is a coloring game played on a graph where each vertex is initially colored blue or white and the goal is to color all the vertices blue by repeated use of a (deterministic) color change rule starting with as few blue vertices as possible. Probabilistic zero forcing yields a discrete dynamical system governed by a Markov chain. Since in a connected graph any one vertex can eventually color the entire graph blue using probabilistic zero forcing, the expected time to do this studied. Given a Markov transition matrix for a probabilistic zero forcing process, we establish an exact formula for expected propagation time. We apply Markov chains to determine bounds on expected propagation time for various families of graphs.

研究动机与目标

• 使用马尔可夫链开发一种计算随机零 forcing 中期望传播时间（ept）的精确方法。
• 表征特定图族（包括完全图和完全二分图）的马尔可夫转移矩阵。
• 为阶为 n 的连通图 G 建立 ept(G) 的紧致上界，证明 ept(G) = O(n)。
• 解决关于添加一条边是否会增加期望传播时间的开放问题，并分析随机图模型中的对数增长。

提出的方法

• 利用马尔可夫转移矩阵 M 推导出 ept(G,B) 的精确公式：ept(G,B) = Σr=1∞ r(M^r - M^{r-1})_{1s}，其中 s 为吸收态（所有顶点为蓝色）。
• 构建完全图 K_n、完全二分图 K_{m,n}、n-太阳图和 n-梳图的马尔可夫矩阵，以计算 ept 值。
• 应用切比雪夫不等式和伯努利不等式，以界定每轮中新增蓝色顶点的期望数量，并分析收敛速度。
• 对 |S|（初始蓝色顶点数）使用反向强归纳法，证明对任意初始集合 S，有 ept(G,S) ≤ (e/(e-1))(n - |S|)。
• 利用如下事实：当至少一个蓝色顶点有白色邻居时，至少发生一次强制传播的概率至少为 (e-1)/e，从而导致首次强制传播的期望时间为常数。
• 分析每轮中蓝色顶点数量的增长速率，表明从 √n 到 n/2 个蓝色顶点需要 Ω(log n) 轮（高概率），从而为 ept(K_{c,n}) 建立 Ω(log n) 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用马尔可夫链为随机零 forcing 中的期望传播时间推导出精确公式？
• RQ2 向图中添加一条边是否总是减少或保持期望传播时间，还是可能使其增加？
• RQ3 完全图、完全二分图及其他结构化图族的期望传播时间的渐近边界是什么？
• RQ4 连通图的期望传播时间是否为 O(n)，并能通过概率和矩阵方法证明？

主要发现

• 对于任意阶为 n 的连通图 G，其期望传播时间为 O(n)，当从单个顶点开始时，有 ept(G) ≤ (e/(e-1))(n - 1)。
• 存在任意大的图，其添加一条边会增加期望传播时间，从而回答了先前研究中的一个开放问题。
• 对于完全图 K_n，期望传播时间随 n 对数增长，且构造了闭式马尔可夫矩阵以精确计算该值。
• 对于完全二分图 K_{c,n}，期望传播时间为 Ω(log n)，表明其具有对数下界，与已知上界仅差常数因子。
• 当在子图 R 中初始仅有一个蓝色顶点时，使所有顶点被染色的期望轮数为 O(1)，这是由于首次强制传播的期望时间为常数，且后续增长受限制。
• 使用对 |S| 的反向强归纳法得到简洁的上界：ept(G,S) ≤ (e/(e-1))(n - |S|)，该式蕴含对任意连通图 G，有 ept(G) = O(n)。