[论文解读] Using max-algebra linear models in the representation of queueing systems

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Simulation Techniques and Applications参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文提出一种最大代数框架，通过线性代数方程建模排队系统，使 G/G/1 和串行队列的系统化分析成为可能，仅通过代数运算即可实现。结果表明，排队系统中的到达与离开时间可借助最大代数标量和矩阵方程表示，并利用标准代数技术推导出闭式解。

ABSTRACT

The application of the max-algebra to describe queueing systems by both linear scalar and vector equations is discussed. It is shown that these equations may be handled using ordinary algebraic manipulations. Examples of solving the equations representing the $G/G/1$ queue and queues in tandem are also presented.

研究动机与目标

• 将最大代数线性模型扩展至排队系统的表示，特别是 G/G/1 和串行队列。
• 证明排队动力学可使用最大代数标量和向量方程表达，并通过标准代数运算求解。
• 利用最大代数公式，为 G/G/1 和串行排队系统中的到达与离开时间提供显式解。
• 将该方法推广至具有客户循环的闭合系统，引入依赖延迟的转移矩阵。
• 为使用最大代数线性模型评估离散事件系统的性能奠定基础。

提出的方法

• 使用最大代数运算表示排队动力学：$ x \bigoplus y = \max(x,y) $，$ x \otimes y = x + y $，其中 $ \varepsilon = -\infty $，$ e = 0 $。
• 将标准递归排队方程（例如 $ D(k) = \max(A(k), D(k-1)) + \tau_k $）改写为最大代数形式：$ D(k) = \tau_k \otimes (A(k) \oplus D(k-1)) $。
• 构建离开时间的向量表示 $ \mathbf{D}(k) $，并推导开放与闭合系统的转移矩阵 $ T_k $、$ \tilde{T}_k $ 以及 $ R_k $、$ S_k $。
• 应用最大代数运算的分配律与结合律，迭代求解方程并推导闭式解。
• 使用最大代数中的矩阵乘法建模串行与闭合排队网络中的状态转移。
• 通过迭代最大代数积推导解：$ D(k) = \bigoplus_{i=1}^k \left( \bigotimes_{j=1}^i \alpha_j \otimes \tau_i \otimes \bigotimes_{j=i+1}^k \tau_j \right) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大代数线性模型能否使用标量和向量方程表示 G/G/1 排队系统的动力学？
• RQ2 标准代数运算如何应用于求解排队系统中的最大代数方程？
• RQ3 使用最大代数时，串行队列的转移矩阵结构是怎样的？
• RQ4 如何利用最大代数向量方程建模具有客户循环的闭合排队系统？
• RQ5 使用最大代数时，串行与闭合排队系统中离开时间的闭式解是什么？

主要发现

• G/G/1 队列的动力学成功地通过最大代数方程建模：$ A(k) = \alpha_k \otimes A(k-1) $，$ D(k) = \tau_k \otimes (A(k) \oplus D(k-1)) $。
• 到达时间由 $ A(k) = \alpha_1 \otimes \cdots \otimes \alpha_k $ 给出，表示累积的到达间隔时间。
• G/G/1 队列的离开时间为 $ D(k) = \bigoplus_{i=1}^k \left( \bigotimes_{j=1}^i \alpha_j \otimes \tau_i \otimes \bigotimes_{j=i+1}^k \tau_j \right) $，捕捉了事件网络中的最长路径。
• 对于具有 $ n $ 台服务器的串行队列，转移矩阵 $ \tilde{T}_k $ 被构造为 $ \mathbf{D}(k) = \tilde{T}_k \otimes \mathbf{D}(k-1) $，其元素编码了路径延迟。
• 在具有 $ c $ 名客户的闭合串行系统中，向量方程 $ \mathbf{D}(k) = R_k \otimes \mathbf{D}(k-1) \oplus S_k \otimes \mathbf{D}(k-c) $ 模型化了反馈与循环。
• 对于 $ n=2 $、$ c=2 $ 的闭合系统，解为 $ D_1(k) = \tau_{11} \otimes \left( \bigotimes_{i=1}^{k-2} (\tau_{1,i+1} \oplus \tau_{2,i}) \right) \otimes \tau_{1k} $，且 $ D_2(k) = \tau_{11} \otimes \left( \bigotimes_{i=1}^{k-1} (\tau_{1,i+1} \oplus \tau_{2,i}) \right) \otimes \tau_{2k} $，表明路径延迟的累积。