[论文解读] Using nets in Dedekind, monotone, or Scott incomplete ordered fields and definability issues

Mojtaba Moniri, Jafar S. Eivazloo|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过间隙中的网研究有序域中的可定义性与完备性，证明了戴德金完备性等价于连续单射函数将内点映射为内点的性质。通过广义幂级数和无穷素数，构造了一个具有参数可定义的正规间隙但无∅-可定义的发散柯西函数的有序域，从而在可定义性逻辑中证明了独立性结果。

ABSTRACT

Given a Dedekind incomplete ordered field, a pair of convergent nets of gaps which are respectively increasing or decreasing to the same point is used to obtain a further equivalent criterion for Dedekind completeness of ordered fields: Every continuous one-to-one function defined on a closed bounded interval maps interior of that interval to the interior of the image. Next, it is shown that over all closed bounded intervals in any monotone incomplete ordered field, there are continuous not uniformly continuous unbounded functions whose ranges are not closed, and continuous 1-1 functions which map every interior point to an interior point (of the image) but are not open. These are achieved using appropriate nets cofinal in gaps or coinitial in their complements. In our third main theorem, an ordered field is constructed which has parametrically definable regular gaps but no $\emptyset$-definable divergent Cauchy functions (while we show that, in either of the two cases where parameters are or are not allowed, any definable divergent Cauchy function gives rise to a definable regular gap). Our proof for the mentioned independence result uses existence of infinite primes in the subring of the ordered field of generalized power series with rational exponents and real coefficients consisting of series with no infinitesimal terms, as recently established by D. Pitteloud.

研究动机与目标

• 通过间隙的网和连续单射函数刻画有序域中的戴德金完备性。
• 证明在单调不完备的有序域中，闭有界区间上存在连续但非一致连续且无界的函数。
• 构造一个具有参数可定义的正规间隙但无∅-可定义的发散柯西函数的有序域。
• 证明在有序域中，可定义的正规间隙与可定义的发散柯西函数之间存在独立性。

提出的方法

• 使用在间隙中严格递增或递减且在间隙中或其补集中共终的网，在不完备域中构造病态的连续函数。
• 通过涉及柯西函数的公式定义集合，以生成正规切割并分析其可定义性。
• 对广义幂级数环应用自同构，以证明某些函数和间隙的不可定义性。
• 利用Pitteloud关于广义幂级数子环中无穷素数的结果，构造具有特定可定义性质的模型。
• 利用广义幂级数域的实闭包，证明某些元素不是平方数，从而表明其非实闭性。
• 证明广义幂级数环的分式域在其实闭包中是稠密的，从而支持逼近论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 戴德金完备性是否等价于：每个在闭有界区间上的连续单射函数都将内点映射为内点？
• RQ2 在单调不完备的有序域中，闭有界区间上是否可能存在连续但非一致连续且无界的函数？
• RQ3 可定义的发散柯西函数的存在是否蕴含有序域中存在可定义的正规间隙？
• RQ4 是否存在一个有序域，其具有参数可定义的正规间隙但无∅-可定义的发散柯西函数？
• RQ5 在有序域中，可定义的正规间隙与可定义的发散柯西函数之间存在何种逻辑关系？

主要发现

• 戴德金完备性等价于：每个在闭有界区间上的连续单射函数都将内点映射为内点。
• 在每个单调不完备的有序域中，均存在连续但非一致连续且无界的函数，其值域不是闭集。
• 存在定义在闭有界区间上的连续单射函数，其将内点映射为像的边界点，表明此类函数不是开映射。
• 存在一个有序域 $K$，其具有参数可定义的正规间隙，但无∅-可定义的发散柯西函数。
• 广义幂级数中具有有理指数和实系数的子环中存在无穷素数，这一事实使得能够构造出此类域，从而证明了可定义间隙与可定义柯西函数之间的独立性。
• 广义幂级数环 $[[\mathbb{R}^{\mathbb{Q}^{\leq 0}}]]$ 的分式域 $K$ 在其实闭包中是稠密的，但不是实闭的，且在某个特定自同构及其逆下保持封闭。