[论文解读] Using neural networks to solve the 2D Poisson equation for electric field computation in plasma fluid simulations

Lionel Cheng, Ekhi Ajuria Illarramendi+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 35被引用 6

一句话总结

该论文提出PlasmaNet，一种物理信息卷积神经网络（CNN），可加速等离子体流体模拟中二维泊松方程的求解，相较于传统求解器实现了高精度与显著加速。通过引入物理损失函数，实现了与非定常欧拉方程的稳定耦合，从而能够高效模拟电子等离子体振荡及具有复杂边界条件和多物理场耦合的流光放电。

ABSTRACT

The Poisson equation is critical to get a self-consistent solution in plasma fluid simulations used for Hall effect thrusters and streamer discharges, since the Poisson solution appears as a source term of the unsteady nonlinear flow equations. As a first step, solving the 2D Poisson equation with zero Dirichlet boundary conditions using a deep neural network is investigated using multiple-scale architectures, defined in terms of number of branches, depth and receptive field. One key objective is to better understand how neural networks learn the Poisson solutions and provide guidelines to achieve optimal network configurations, especially when coupled to the time-varying Euler equations with plasma source terms. Here, the Receptive Field is found critical to correctly capture large topological structures of the field. The investigation of multiple architectures, losses, and hyperparameters provides an optimal network to solve accurately the steady Poisson problem. The performance of the optimal neural network solver, called PlasmaNet, is then monitored on meshes with increasing number of nodes, and compared with classical parallel linear solvers. Next, PlasmaNet is coupled with an unsteady Euler plasma fluid equations solver in the context of the electron plasma oscillation test case. In this time-evolving problem, a physical loss is necessary to produce a stable simulation. PlasmaNet is finally tested on a more complex case of discharge propagation involving chemistry and advection. The guidelines established in previous sections are applied to build the CNN to solve the same Poisson equation in cylindrical coordinates with different boundary conditions. Results reveal good CNN predictions and pave the way to new computational strategies using modern GPU-based hardware to predict unsteady problems involving a Poisson equation.

研究动机与目标

• 加速自洽等离子体建模中的关键瓶颈——二维泊松方程的求解。
• 研究深度神经网络在不同网络结构、损失函数和超参数设置下求解泊松方程的机理。
• 开发一种数据驱动的代理求解器，可与时间依赖的流体方程耦合，用于非定常等离子体流模拟。
• 建立针对椭圆型PDE在复杂边界条件下求解时最优CNN配置（特别是感受野与网络结构）的设计准则。
• 在典型及复杂等离子体案例中验证该方法，包括柱坐标系下的情况以及化学耦合的放电传播。

提出的方法

• 采用多尺度架构训练深度卷积神经网络（PlasmaNet），求解具有零狄利克雷边界条件的二维泊松方程。
• 通过惩罚泊松方程残差误差的物理损失函数进行训练，确保物理一致性。
• 对网络深度、分支数量和感受野大小等超参数进行搜索，以优化泛化能力与精度。
• 模型首先在稳态问题上进行训练，随后与非定常欧拉等离子体流体求解器耦合，用于时间演化模拟。
• 引入物理损失函数以稳定长期模拟，防止时间依赖情形下的误差累积。
• 将方法扩展至具有混合狄利克雷-诺伊曼边界条件的柱坐标系，证明其在笛卡尔几何之外的泛化能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 架构超参数（尤其是感受野、深度和分支数量）如何影响神经网络求解二维泊松方程的精度？
• RQ2 物理信息神经网络是否能在GPU硬件上实现与经典线性求解器相当或更优的精度，同时获得显著加速？
• RQ3 当神经网络与非定常流体方程耦合时，物理损失函数在稳定时间演化模拟中起到何种作用？
• RQ4 训练后的神经网络在不同边界条件（如柱坐标系下的混合狄利克雷-诺伊曼条件）下泛化能力如何？
• RQ5 该网络能否在涉及化学反应、对流及多物理场耦合的复杂等离子体模拟中有效应用？

主要发现

• PlasmaNet在零狄利克雷边界条件下求解二维泊松方程时表现出高精度，在GPU硬件上相比经典迭代求解器实现了显著加速。
• 感受野对于捕捉电势场中的大尺度拓扑结构至关重要。
• 在将神经网络与时间依赖的欧拉方程耦合时，物理损失函数对于稳定长期模拟至关重要。
• 通过超参数搜索确定的最优网络配置在多个测试案例中均实现了精确预测，包括电子等离子体振荡和双头流光放电。
• 该方法在具有混合边界条件的柱坐标系下表现出良好泛化能力，表明其对复杂等离子体几何结构具有鲁棒性与可迁移性。
• 该方法显著加速了涉及多物理场耦合的等离子体流体模拟，为实现实时或高吞吐量模拟策略铺平了道路。