[论文解读] Utility maximization in incomplete markets

Ying Hu, Peter Imkeller+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Aug 24, 2005

Economic theories and models被引用 14

一句话总结

该论文通过构建一个终端值等于终端财富效用的上鞅过程，提出了一种在非凸交易约束下的不完全金融市场的效用最大化新方法。最优策略被识别为使该过程成为鞅的策略，而值函数即为该鞅的初始值，通过后向随机微分方程（BSDEs）在一般闭约束集下求解指数型、幂型和对数型效用函数。

ABSTRACT

We consider the problem of utility maximization for small traders on incomplete financial markets. As opposed to most of the papers dealing with this subject, the investors' trading strategies we allow underly constraints described by closed, but not necessarily convex, sets. The final wealths obtained by trading under these constraints are identified as stochastic processes which usually are supermartingales, and even martingales for particular strategies. These strategies are seen to be optimal, and the corresponding value functions determined simply by the initial values of the supermartingales. We separately treat the cases of exponential, power and logarithmic utility.

研究动机与目标

• 解决交易策略受限于闭合非凸集的不完全市场中的效用最大化问题，突破传统凸锥假设的限制。
• 在不依赖对偶方法的前提下，刻画最优交易策略与值函数，而对偶方法在以往文献中较为常见。
• 针对三种关键效用函数——指数型、幂型和对数型，在一般约束结构下提供显式解。
• 证明值函数等于特定上鞅过程的初始值，且当该过程成为鞅时达到最优性。
• 在维纳滤波概率空间中，利用后向随机微分方程（BSDEs）构造最优策略与值函数。

提出的方法

• 定义一个依赖于交易策略 $ \rho $ 的随机过程 $ R^\rho $，使得 $ R^\rho_T $ 等于终端财富的效用。
• 确保对所有可容许策略 $ \rho $，$ R^\rho $ 均为上鞅，并识别出某一特定策略 $ \rho^* $，使得 $ R^{\rho^*} $ 成为鞅。
• 将 $ R^{\rho^*} $ 的初始值用作值函数，利用鞅保持其初始期望的性质。
• 通过将投影映射至约束集 $ C_t $ 来构造最优策略 $ \rho^* $，具体为 $ \rho^*_t = \Pi_{C_t}(\theta_t) $，其中 $ \theta_t $ 为市场风险价格。
• 利用后向随机微分方程（BSDEs）求解生成值函数与最优策略的随机过程 $ (Y,Z) $。
• 在可积性与有界性条件下，验证过程 $ R^\rho $ 中的随机积分是鞅，从而确保所有 $ \rho $ 的上鞅性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当交易策略被限制在闭合非凸集时，如何在不完全市场中求解效用最大化问题？
• RQ2 在约束集不具备凸性的情况下，最优策略与值函数的表征是什么？
• RQ3 利用上鞅与鞅的对偶性，如何简化原始效用最大化问题的求解？
• RQ4 在一般闭约束下，指数型、幂型与对数型效用函数的值函数与最优策略的显式形式是什么？
• RQ5 能否利用后向随机微分方程（BSDEs）直接求解原始问题，而无需依赖对偶方法？

主要发现

• 效用最大化问题的值函数等于最优策略 $ \rho^* $ 对应的鞅 $ R^{\rho^*} $ 的初始值，且该值与策略无关。
• 对于对数效用，值函数为 $ V(x) = \log(x) + \mathbb{E}\left[ -\int_0^T f(s)\,ds \right] $，其中 $ f(s) = \frac{1}{2} \text{dist}^2(\theta_s, C_s) - \frac{1}{2}|\theta_s|^2 $。
• 最优策略 $ \rho^* $ 满足 $ \rho^*_t = \Pi_{C_t}(\theta_t) $，即市场风险价格在时间 $ t $ 的约束集上的投影，确保可行性与最优性。
• 在给定的可积性与有界性假设下，过程 $ R^\rho $ 中的随机积分是鞅，从而确保所有 $ \rho $ 的上鞅性质。
• 当约束集为凸锥时，幂效用的解与Sekine的结果一致，验证了该方法与既有文献的一致性。
• BSDEs 的使用使得无需依赖对偶方法即可直接求解原始问题，从而实现了从凸集到闭集约束的自然推广。