[论文解读] V-cycle multigrid algorithms for discontinuous Galerkin methods on non-nested polytopic meshes

Paola F. Antonietti, Giorgio Pennesi|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在非嵌套多边形网格上使用边/面聚合粗化的V型多重网格算法，用于间断伽辽金方法，通过聚合与边/面粗化避免粗化层级中出现小面。只要使用足够多的平滑步骤，该方法在网格细化和多项式阶数 $p$ 上均能实现均匀收敛，克服了标准聚合方案中因小面导致的条件数问题。

ABSTRACT

In this paper we analyse the convergence properties of V-cycle multigrid algorithms for the numerical solution of the linear system of equations arising from discontinuous Galerkin discretization of second-order elliptic partial differential equations on polytopal meshes. Here, the sequence of spaces that stands at the basis of the multigrid scheme is possibly non nested and is obtained based on employing agglomeration with possible edge/face coarsening. We prove that the method converges uniformly with respect to the granularity of the grid and the polynomial approximation degree p, provided that the number of smoothing steps, which depends on p, is chosen sufficiently large.

研究动机与目标

• 解决在具有小面的多边形网格上进行高阶DG离散化时产生的线性系统病态问题。
• 开发一种多重网格求解器，通过使用非嵌套聚合网格避免将细网格中的小面传递到粗网格层级。
• 证明V型多重网格方法在网格细化和多项式阶数 $p$ 上的均匀收敛性。
• 在适用于DG方法的一般非嵌套多重网格框架下建立收敛性。
• 通过放宽BPX框架中的假设 $\mathcal{A}_j(I_{j-1}^j u, I_{j-1}^j u) \leq \mathcal{A}_{j-1}(u,u)$ 来克服其局限性，该假设在DG设置下可能不成立。

提出的方法

• 通过可能包含边/面粗化的聚合方法构建一系列非嵌套离散多项式空间，以防止小面传播至粗化层级。
• 在每一层级上定义独立的离散双线性形式，以适应非嵌套空间，确保稳定性和准确性。
• 采用带有理查森平滑和子空间校正步骤的V型多重网格算法，其中平滑步骤的数量依赖于多项式阶数 $p$。
• 在非嵌套空间之间使用插值算子 $I_{j-1}^j$ 和限制算子 $P_j^{j-1}$ 来实现层级间的校正传递。
• 基于BPX框架构建非嵌套多重网格框架，通过修改稳定性和逼近性假设，使其适用于DG设置。
• 通过结合椭圆正则性、逼近误差估计以及涉及 $h_j^2/p_j^{2-\mu}$ 项的稳定性界来证明收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 V型多重网格方法能否在非嵌套多边形网格上实现高阶DG离散化的均匀收敛？
• RQ2 在聚合过程中使用边/面粗化是否能防止粗化层级网格中因小面导致的条件数退化？
• RQ3 该多重网格方法的收敛性是否在网格尺寸 $h$ 和多项式阶数 $p$ 上均保持均匀？
• RQ4 当插值稳定性条件 $\mathcal{A}_j(I_{j-1}^j u, I_{j-1}^j u) \leq \mathcal{A}_{j-1}(u,u)$ 在DG设置下不成立时，能否将标准BPX多重网格收敛理论推广至DG方法？
• RQ5 实现均匀收敛所需的最少平滑步骤数量是多少？其与 $p$ 的关系如何？

主要发现

• 只要平滑步骤数量足够多且依赖于 $p$，V型多重网格方法在网格细化和多项式阶数 $p$ 上均能实现均匀收敛。
• 收敛率受界 $\|w_{J} - I_{J-1}^{J}w_{J-1}\|_{L^2(\Omega)} \lesssim \frac{h_J^2}{p_J^{2-\mu}}\|g\|_{L^2(\Omega)}$ 控制，表明具有最优收敛行为。
• 通过使用边/面粗化，该方法避免了标准聚合方法中的条件数问题，防止了粗化层级网格中出现小面。
• 分析表明，即使在标准BPX稳定性假设于DG设置下不成立时，非嵌套多重网格框架依然保持鲁棒性。
• 关键估计 $\|z_{J-1} - I_{J-1}^J z_{J-1}\|_{L^2(\Omega)} \lesssim \frac{h_J^2}{p_J^{2-\mu}}\|w_{J-1} - P_J^{J-1}w_J\|_{L^2(\Omega)}$ 是收敛性证明的核心。
• 通过结合逼近误差界与涉及 $L^2$-投影和插值算子的稳定性估计，该方法确保了均匀收敛。