[论文解读] Vacca-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2008

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一句话总结

本文通过使用基于 B 进制展开中数位计数的生成函数的积分表示，将 Vacca 型和 Ramanujan 型级数推广至广义欧拉常数函数 $\gamma_{a,b}(z)$ 及其导数。利用 B 进制数位结构，推导出 $\log\frac{4}{\pi}$、$\frac{G}{\pi}$、$\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$ 以及 Somos 常数和 Glaisher-Kinkelin 常数对数的新有理级数，并给出了显式收敛的级数展开。

ABSTRACT

We generalize well-known Catalan-type integrals for Euler's constant to values of the generalized-Euler-constant function and its derivatives. Using generating functions appeared in these integral representations we give new Vacca and Ramanujan-type series for values of the generalized-Euler-constant function and Addison-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative. As a consequence, we get base $B$ rational series for $\log\frac{4}π,$ $\frac{G}π$ (where $G$ is Catalan's constant), $\frac{ζ'(2)}{π^2}$ and also for logarithms of Somos's and Glaisher-Kinkelin's constants.

研究动机与目标

• 将 Catalan 型积分和 Vacca 型级数从欧拉常数推广至广义欧拉常数函数 $\gamma_{a,b}(z)$ 及其导数。
• 为 $\log\frac{4}{\pi}$、$\frac{G}{\pi}$、$\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$ 以及 Somos 常数和 Glaisher-Kinkelin 常数的对数推导新的有理级数。
• 通过生成函数和积分变换，建立 B 进制展开中数位计数函数与级数求和之间的联系。
• 利用 B 进制数位结构的多项式加权和，为 $\gamma_{a,b}(z)$ 及其导数提供快速收敛的展开式。

提出的方法

• 通过 B 进制展开中数位计数的生成函数，将 Ramanujan 和 Berndt-Bowman 的 $\gamma$ 积分推广至广义欧拉常数函数 $\gamma_{a,b}(z)$。
• 定义 $L_B(k) = \lfloor \log_B(Bk) \rfloor$，即 $k$ 的 B 进制长度，并将其用作级数展开中的权重。
• 从 B 进制展开中数字或字串的出现次数构造生成函数 $G_B(x)$，以编码 $N_{\omega,B}(n)$，即 $n$ 的 B 进制表示中字串 $\omega$ 的计数。
• 通过形如 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{B^n - 1} dx$ 的积分推导新的 Vacca 型级数，并将其扩展至 $\gamma_{a,b}(z)$。
• 使用 Sondow 广义 Addison 级数中的多项式 $P_B(n)$ 对 $\gamma_{a,b}(z)$ 及其导数的有理级数项进行加权。
• 应用从生成函数导出的递推序列 $a_{k,\ell}$ 和 $c_k$，以表达最终级数展开中的系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将欧拉常数的 Vacca 型和 Ramanujan 型级数推广至广义欧拉常数函数 $\gamma_{a,b}(z)$ 及其导数？
• RQ2 能否利用 B 进制数位结构，为 $\log\frac{4}{\pi}$、$\frac{G}{\pi}$、$\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$ 及特殊常数的对数推导出有理级数表示？
• RQ3 B 进制展开中数位计数的生成函数如何与 $\gamma_{a,b}(z)$ 的积分表示相关联？
• RQ4 能否利用基于 B 进制数位计数的加权和，构造 $\gamma_{a,b}(z)$ 和 $\gamma'_{a,b}(z)$ 的快速收敛级数？
• RQ5 控制新级数展开中系数的递推序列是什么？

主要发现

• 本文推导出 $\log\frac{4}{\pi}$ 的 B 进制有理级数：$\log\frac{4}{\pi} = \frac{5}{8} - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2k(2k+1)(2k+2)}$，其中 $a_1 = 4$，且对 $k \geq 2$ 有 $a_k = a_{\lfloor k/2 \rfloor} + \frac{1}{2^{k-1}}$。
• 给出了 Glaisher-Kinkelin 常数的新级数：$\log A = \frac{13}{48} - \frac{1}{36}\sum_{k=1}^\infty \left(7L_B(k) - 7L_B(\lfloor k/2 \rfloor) + b_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$，其中 $b_k$ 为递归定义。
• 对于 $\frac{G}{\pi}$，本文建立了 $\frac{G}{\pi} = \frac{11}{32} + \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{8}L_B(\lfloor k/2 \rfloor) - \frac{1}{8}L_B(k) + c_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$，其中 $c_k$ 为递归定义。
• 对于 $\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$，其级数表示为 $\frac{\zeta'(2)}{\pi^2} = -\frac{1}{16} + \frac{1}{36}\sum_{k=1}^\infty \left(4L_B(k) - L_B(\lfloor k/2 \rfloor) + c_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$，其中 $c_k$ 为递归定义。
• 本文给出了 $\gamma_{2,1}(-1)$ 的新积分表示：$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\log 2 + \sum_{k=1}^\infty a_{k,0}\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$，其中 $a_{k,0}$ 为递归定义。
• 对于 $\gamma'_{2,1}(-1)$，本文给出 $\gamma'_{2,1}(-1) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{4}\log 2 + \sum_{k=1}^\infty a_{k,1}\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$，其中 $a_{k,1}$ 为递归定义。