[论文解读] Vacuum Stability Conditions and Potential Minima for a Matrix Representation in Lightcone Orbit Space

Kristjan Kannike|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2021

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 31被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于柯西-施瓦茨不等式的闵可夫斯基空间形式化方法，用于推导标准模型扩展中标量势的真空中稳定条件。通过将复矩阵标量场的轨道空间映射到1+2维的前光锥，该方法实现了利用四次耦合张量的正定性对真空中稳定性进行几何分析，从而为具有双二重态及左右希格斯二重态的左右对称模型提供了必要且充分的真空中稳定条件。

ABSTRACT

The orbit space for a scalar field in a complex square matrix representation obtains a Minkowski space structure from the Cauchy-Schwarz inequality. It can be used to find vacuum stability conditions and minima of the scalar potential. The method is suitable for fields such as a bidoublet, an $SU(2)$ triplet or $SU(3)$ octet. We use the formalism to find the vacuum stability conditions for the left-right symmetric potential of a bidoublet and left and right Higgs doublets.

研究动机与目标

• 开发一种用于分析具有复矩阵表示的标量场理论中真空中稳定性的几何方法。
• 证明由于柯西-施瓦茨不等式，矩阵标量场的轨道空间自然形成一个前光锥。
• 通过光锥上的张量正定性，推导四次耦合的必要且充分的真空中稳定条件。
• 将该形式化方法应用于包含双二重态及左右希格斯二重态的左右对称模型，包括与标准模型希格斯的门户耦合。
• 在实耦合情况下将稳定性问题简化为非负象限上的非负性，从而简化完整势能的分析。

提出的方法

• 以规范不变量表示标量势：r₀ = tr(M†M)，r₁ + ir₂ = tr(M²)，形成1+2维闵可夫斯基空间结构。
• 利用矩阵内积的柯西-施瓦茨不等式，将轨道空间定义为前光锥：r₀² ≥ r₁² + r₂²，r₀ ≥ 0。
• 用光锥变量rμ和对称四次耦合张量λμν表示标量势，该张量在SO(1,2)下变换。
• 通过要求势能的四次部分在光锥上正定，推导真空中稳定性，从而得到λμν的特征值条件。
• 在实耦合情况下，通过将光锥旋转至R⁴₊，将问题简化为非负象限上的非负性，从而实现更简便的稳定性检验。
• 通过引入与左右希格斯二重态的门户耦合，将该形式化方法应用于左右对称模型，将势能转化为4×4四次耦合矩阵的非负性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 复矩阵标量场的轨道空间如何通过几何结构简化真空中稳定性的分析？
• RQ2 具有四次自相互作用的矩阵标量场的真空中稳定性的必要且充分条件是什么？
• RQ3 如何将与标准模型希格斯的门户耦合纳入光锥形式化方法，同时保持稳定性条件？
• RQ4 在何种条件下真空中稳定性问题可简化为非负性？这如何简化分析？
• RQ5 具有双二重态及左右希格斯二重态的左右对称模型的显式真空中稳定条件是什么？

主要发现

• 由于柯西-施瓦茨不等式，具有两个二次不变量的复矩阵标量场的轨道空间形成1+2维前光锥。
• 若四次耦合张量的特征值满足Λ₀ > 0，Λ₀ > Λ₁，Λ₀ > Λ₂，则矩阵自耦合的真空中稳定性得以保证。
• 对于实耦合，稳定性条件简化为非负性，得出如λM > 0，λM + λ′M + λ′′M > 0，以及λM + λ′M − λ′′M > 0等简化条件。
• 具有双二重态及左右希格斯二重态的左右对称模型的必要真空中稳定条件由式(79)给出，其中包含如¯λLR = ½λLR + √(λLλR) > 0等项。
• 通过将光锥变换至非负象限R⁴₊并应用非负性于所得4×4四次耦合矩阵，推导出式(88)中的充分真空中稳定条件。
• 该方法可通过在光锥形式化中求解极值点，实现标量势的解析最小化，且对各种真空期望值配置提供了显式解。