[论文解读] Valuation spaces and multiplier ideals on singular varieties

Sébastien Boucksom, Tommaso de Fernex+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文通过将对数分歧函数扩展到所有实值赋值，并引入数值 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein 代数簇的概念，将乘子理想的经典赋值刻画从光滑情形推广到具有奇点的正常复代数簇。主要贡献是在此类簇上建立了一个普遍适用的乘子理想赋值准则，当簇为数值 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein 时，该准则形式得以简化；并提出了数值 Cartier 除子的新定义，该定义在有有理奇点时与 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子一致。

ABSTRACT

We generalize to all normal complex algebraic varieties the valuative characterization of multiplier ideals due to Boucksom-Favre-Jonsson in the smooth case. To that end, we extend the log discrepancy function to the space of all real valuations, and prove that it satisfies an adequate properness property, building upon previous work by Jonsson-Musta\\c{t}\\u{a}. We next give an alternative definition of the concept of numerically Cartier divisors previously introduced by the first three authors, and prove that numerically Q-Cartier divisors coincide with Q-Cartier divisors for rational singularities. These ideas naturally lead to the notion of numerically Q-Gorenstein varieties, for which our valuative characterization of multiplier ideals takes a particularly simple form.

研究动机与目标

• 将乘子理想的赋值刻画——此前仅在光滑簇上成立——推广至所有正常复代数簇。
• 在所有实值赋值空间上定义并研究对数分歧函数，确保其具有适当的正规性与连续性。
• 引入并分析数值 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子的概念，并证明其在有有理奇点时与 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子等价。
• 定义数值 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 条件，并在该设定下建立乘子理想的简化赋值准则。

提出的方法

• 利用赋值空间理论与正规化赋值空间，将对数分歧函数 $A_X(\nu)$ 扩展至所有实值赋值 $\nu$。
• 证明扩展后的对数分歧函数满足正规性性质，延续 Jonsson-Mustaćća 的工作。
• 通过 $\mathrm{Num}^1(X)$ 中的数值等价类，提出数值 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子的新定义，并证明当 $X$ 具有有理奇点时，其与 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子一致。
• 通过在解析 $\mu: X' \to X$ 上存在唯一的 $\mu$-数值等价 $\mathbb{Q}$-除子 $K^{\rm num}_{X'/X}$ 的条件来定义数值 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 性质，并证明 $A_X(\operatorname{ord}_E) = 1 + \operatorname{ord}_E(K^{\rm num}_{X'/X})$。
• 利用正常化子概形 $N$ 的良好解析 $\pi$ 的对偶复形 $\Delta_\pi^N$，证明 $A_X$ 在单形上为仿射函数，且等于所有 $A_{X'}$ 的拉回的上确界。
• 应用赋值准则，推导出公式 $\mathcal{J}(X,\mathfrak{a}^c) = \mu_* \mathcal{O}_{X'}(\lceil K^{\rm num}_{X'/X} - cD \rceil)$，其中 $\mu$ 为满足 $\mu^{-1}\mathfrak{a} \cdot \mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_{X'}(-D)$ 的对数解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将已知于光滑情形的乘子理想赋值刻画推广至具有奇点的正常代数簇？
• RQ2 如何在奇点簇上，将对数分歧函数从除子赋值有意义地扩展至所有实值赋值？
• RQ3 在奇点情形下，${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子的正确推广是什么？其与数值等价的关系如何？
• RQ4 在何种条件下，数值 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子与 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子一致？
• RQ5 在数值 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein 代数簇上，乘子理想的赋值准则的简化形式是什么？

主要发现

• 对数分歧函数 $A_X(\nu)$ 已扩展至所有实值赋值 $\nu$，并满足正规性条件，从而支持全局赋值方法。
• 数值 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子通过 $\mathrm{Num}^1(X)$ 中的数值等价类定义，且在有理奇点情形下与 ${\mathbb{Q}}$-Cartier 除子一致。
• 实值赋值空间上支持一个定义良好的对数分歧函数，其具有正规性与连续性，推广了光滑情形。
• 对于数值 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein 代数簇，乘子理想 $\mathcal{J}(X,\mathfrak{a}^c)$ 具有公式 $\mu_* \mathcal{O}_{X'}(\lceil K^{\rm num}_{X'/X} - cD \rceil)$，其中 $\mu: X' \to X$ 为对数解析。
• 对于任意正常化子概形 $N$ 的良好解析 $\pi$，函数 $A_X$ 在对偶复形 $\Delta_\pi^N$ 的单形上为仿射函数，且在 $\mathrm{Val}_X^N$ 上满足 $A_X = \sup_\pi A_X \circ r_\pi^N$，从而确立了全局上确界结构。
• 一个代数簇具有对数终端奇点当且仅当在除子赋值空间 $\mathrm{DivVal}_X$ 上有 $A_X > 0$，这恰好等价于 $\mathcal{J}(X,\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_X$。