[论文解读] Valuations and plurisubharmonic singularities

Sébastien Boucksom, Charles Favre+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文通过将每个 plurisubharmonic (psh) 奇点 $ u $ 关联到空间上归一化的赋值 $ \mathcal{V} $ 的形式 psh 函数 $ \hat{u} $，提出了一套用于分析高维中 psh 函数奇点的赋值框架。利用 $ \mathcal{V} $ 上的混合 Monge-Ampère 算子，本文证明了广义 Lelong 数、乘子理想与相对类型完全由 $ u $ 在所有无穷远点处的 Lelong 数决定，从而确立了所有此类不变量均可表示为赋值的平均值。

ABSTRACT

We extend to higher dimensions some of the valuative analysis of singularities of plurisubharmonic (psh) functions developed by the last two authors. Following Kontsevich and Soibelman we describe the geometry of the space V of all normalized valuations on C[x_1,...,x_n] centered at the origin. It is a union of simplices naturally endowed with an affine structure. Using relative positivity properties of divisors living on modifications of C^n above the origin, we define formal psh functions on V, designed to be analogues of the usual psh functions. For bounded formal psh functions on V, we define a mixed Monge-Ampere operator which reflects the intersection theory of divisors above the origin of C^n. This operator associates to any (n-1)-tuple of formal psh functions a positive measure of finite mass on V. Next, we show that the collection of Lelong numbers of a given germ u of a psh function at all infinitely near points induces a formal psh function u' on V called its valuative transform. When ϕis a psh Holder weight in the sense of Demailly, the generalized Lelong number nu_ϕ(u) equals the integral of u' against the Monge-Ampere measure of the valuative transform of ϕ. In particular, any generalized Lelong number is an average of valuations. We also show how to compute the multiplier ideal of u and the relative type of u with respect to ϕin the sense of Rashkovskii, in terms of the valuative transforms of u and ϕ.

研究动机与目标

• 将 plurisubharmonic 奇点的赋值分析从二维推广到高维，利用奇点的解析解耦与赋值理论。
• 在归一化赋值空间 $ \mathcal{V} $ 上定义一个形式 psh 函数 $ \hat{u} $，以编码 $ u $ 在所有无穷远点处的 Lelong 数。
• 在 $ \mathcal{V} $ 上构造一个混合 Monge-Ampère 算子，反映 $ \mathbb{C}^n $ 中原点上方除子的交点理论。
• 证明 $ u $ 的广义 Lelong 数、乘子理想与相对类型完全由 $ \hat{u} $ 的数据决定。
• 通过将广义 Lelong 数表示为 $ \hat{u} $ 对 $ \hat{\varphi} $ 的 Monge-Ampère 测度的积分，证明广义 Lelong 数是赋值的平均值。

提出的方法

• 通过 Hironaka 的奇点解耦，将 $ \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n] $ 在原点处的归一化赋值空间 $ \mathcal{V} $ 赋予仿射结构，并分解为单纯形的并集。
• 利用 $ \mathbb{C}^n $ 在原点上方的修改模型上除子的相对正性性质，定义 $ \mathcal{V} $ 上的形式 psh 函数。
• 在 $ \mathcal{V} $ 上构造一个混合 Monge-Ampère 算子，将 $ (n-1) $ 个形式 psh 函数关联到一个有限质量的正测度。
• 将 $ u $ 在所有无穷远点处的 Lelong 数编码为 $ \mathcal{V} $ 上的形式 psh 函数 $ \hat{u} $，该函数捕捉了 $ u $ 的奇点数据。
• 广义 Lelong 数 $ \nu_\varphi(u) $ 表示为积分 $ \int_{\mathcal{V}} -\hat{u} \, \text{MA}(\hat{\varphi}) $，从而将其与赋值空间联系起来。
• 使用逼近技术将一般情形约化为由初等理想定义的 psh 权的情形，利用投影公式与交点理论中的变量替换。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从 $ u $ 在所有无穷远点处的 Lelong 数完全恢复其在原点处的奇点？
• RQ2 对于由正常 psh 权 $ \varphi $ 定义的 psh 函数 $ u $，其广义 Lelong 数 $ \nu_\varphi(u) $ 是否可表示为赋值上的平均值？
• RQ3 能否从 $ \hat{u} $ 中编码的赋值理论数据重构 $ u $ 的乘子理想与相对类型？
• RQ4 赋值空间 $ \mathcal{V} $ 上的混合 Monge-Ampère 测度是否反映了 $ \mathbb{C}^n $ 中原点上方除子的交点理论？
• RQ5 归一化赋值空间 $ \mathcal{V} $ 是否自然地具备一个便于分析 psh 奇点的凸几何结构？

主要发现

• 广义 Lelong 数 $ \nu_\varphi(u) $ 等于 $ \hat{u} $ 对 $ \hat{\varphi} $ 的 Monge-Ampère 测度的积分，证明其为赋值的平均值。
• 所有无穷远点处 $ u $ 的 Lelong 数集合决定了所有 $ t>0 $ 的 $ \mathcal{J}_+(tu) $，因此 $ \mathcal{J}_+(u) $ 可完全由该数据恢复。
• 当且仅当 $ u $ 与 $ v $ 在所有无穷远点处的 Lelong 数一致时，$ \sigma(u,\varphi) = \sigma(v,\varphi) $，从而确立了不变量的等价性。
• $ \mathcal{V} $ 上的形式 psh 函数 $ \hat{u} $ 是 $ \frac{1}{k}\log|\mathcal{J}_+(ku)| $ 在 $ k \to \infty $ 时的逐点极限，从而将乘子理想与赋值空间联系起来。
• 对于由初等理想 $ \mathfrak{a} $ 定义的 psh 权 $ \varphi $，广义 Lelong 数 $ \nu_\varphi(u) $ 等于其在 $ \mathfrak{a} $ 生成元定义的有限映射 $ F $ 下的像 $ F_*u $ 的 Lelong 数。
• 当 $ \varphi $ 为正常 psh 权时，混合 Monge-Ampère 测度 $ \text{MA}(\hat{\varphi}) $ 仅在有限多个除子性赋值上具有紧支集，从而支持显式积分与逼近。