[论文解读] Valuations on convex functions and convex sets and Monge-Ampere operators

Semyon Alesker|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2017

Geometry and complex manifolds被引用 4

一句话总结

本文建立了在仿射泛函加法下不变的凸函数上的连续取值测度与凸体上平移不变的连续取值测度之间的深刻联系。通过实、复、四元数和八元数的Monge-Ampère算子，构造了一个从前者空间到后者的线性映射，证明其像在稠密的，且核为无限维，从而统一了在除法代数上更高维几何取值测度理论。

ABSTRACT

The notion of a valuation on convex bodies is very classical. The notion of a valuation on a class of functions was recently introduced and studied by M. Ludwig and others. We study an explicit relation between continuous valuations on convex functions which are invariant under adding arbitrary linear functionals, and translations invariant continuous valuations on convex bodies. More precisely, we construct a natural linear map from the former space to the latter and prove that it has dense image and infinite dimensional kernel. The proof uses the author's irreducibility theorem and few properties of the real Monge-Ampere operators due to A.D. Alexandrov and Z. Blocki. Fur- thermore we show how to use complex, quaternionic, and octonionic Monge-Ampere operators to construct more examples of continuous valuations on convex functions in an analogous way.

研究动机与目标

• 探索凸函数上的取值测度与凸体上的取值测度之间的结构性关系。
• 将取值测度理论从经典凸集扩展至包含在仿射泛函加法下不变的凸函数的情形。
• 证明在实、复、四元数和八元数等多种代数结构下，Monge-Ampère算子可生成凸函数上新的连续取值测度类。
• 证明从函数取值测度到体取值测度的诱导映射具有稠密像和无限维核，从而揭示出丰富的代数结构。

提出的方法

• 定义线性映射 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $，将对偶空间 $ V^* $ 上凸函数的取值测度 $ \Phi $ 映射为 $ V $ 中凸体上的取值测度 $ \phi $，其中 $ \phi(K) = \Phi(h_K) $，$ h_K $ 为 $ K $ 的支撑函数。
• 证明 $ T $ 与 $ GL(V) $ 的作用可交换，从而可利用作者的不可约性定理分析 $ T $ 的像。
• 利用实Monge-Ampère算子（按Alexandrov与Blocki的定义）构造在仿射泛函加法下不变的凸函数上连续取值测度的显式例子。
• 将构造推广至复、四元数和八元数Monge-Ampère算子，借助关于两个变量的八元数Hessian与行列式的最新结果。
• 证明所得泛函满足取值测度性质，并在 $ C^0 $-拓扑下连续，从而属于 $ VConv(V^*) $。
• 应用不可约性定理，证明 $ T $ 的像与 $ Val(V) $ 的每个 $ GL(V) $-不可约子表示均有交集，从而推出其像的稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仿射泛函加法下不变的凸函数上的连续取值测度与凸体上的平移不变取值测度之间有何关系？
• RQ2 在非交换与非结合代数（如四元数与八元数）中，Monge-Ampère算子能否生成凸函数上新的取值测度类？
• RQ3 自然映射 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ 的像是什么？它与凸体上平移不变取值测度的整个空间有何关系？
• RQ4 此类映射的核在多大程度上反映了其底层函数空间的代数复杂性？
• RQ5 能否利用八元数Monge-Ampère算子构造出Kazarnovskii伪体积的高维类比？

主要发现

• 线性映射 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ 在凸体上连续平移不变取值测度的空间中具有稠密像。
• 映射 $ T $ 的核为无限维，表明存在一个巨大的函数取值测度空间，其在凸体上均映射为零泛函。
• 利用实Monge-Ampère算子构造凸函数上的取值测度，可得到连续且满足取值测度性质的泛函，此结果由Blocki与Alexandrov所确立。
• 采用复、四元数和八元数Monge-Ampère算子的类似构造，可产生在仿射泛函加法下不变的凸函数上的连续取值测度。
• 对于两个变量的八元数函数，八元数Hessian的混合行列式定义了一个带符号测度，通过与compactly supported函数的积分可导出连续取值测度。
• 当限制在支撑函数上时，所得凸体上的取值测度彼此成比例，构成Kazarnovskii伪体积的八元数类比。