[论文解读] Value distribution and potential theory

Alexandre Erëmenko|ArXiv.org|Apr 22, 2003

Meromorphic and Entire Functions参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文使用势论方法将皮卡德定理和内万林纳第二主定理推广至拟正则映射与全纯曲线，建立了被略去值与亏量的界限。证明了 $K$-拟正则映射 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 仅能略去有限多个值，其数量受 $n$ 与 $K$ 限制，并为在射影空间中具有非线性除子的曲线提供了第二主定理的改进版本。

ABSTRACT

We describe some results of value distribution theory of holomorphic curves and quasiregular maps, which are obtained using potential theory. Among the results discussed are: extensions of Picard's theorems to quasiregular maps between Riemannian manifolds, a version of the Second Main Theorem of Nevanlinna for curves in projective space and non-linear divisors, description of extremal functions in Nevanlinna theory and results related to Cartan's 1928 conjecture on holomorphic curves in the unit disc omitting hyperplanes.

研究动机与目标

• 使用势论技术将皮卡德定理推广至黎曼流形之间的拟正则映射。
• 将内万林纳第二主定理推广至具有非线性除子的射影空间中的全息曲线。
• 描述内万林纳理论中的极值函数，并解决卡坦于1928年关于全纯曲线略去超平面的猜想。
• 为从单位圆盘出发的全纯映射略去超曲面的情形建立定量估计，推广兰道定理。
• 研究卡坦猜想在满足博雷尔型关系的全纯函数正规族中的有效性。

提出的方法

• 基于哈纳克不等式与调和函数唯一性定理的缩放论证，从值略去假设中导出矛盾。
• 应用 $A$-调和函数——拟正则势论中调和函数的推广——当 $f$ 略去 $a$ 时，$\log|f-a|$ 为 $A$-调和函数。
• 运用 $A$-调和函数理论将缩放方法推广至拟正则映射，以 $A$-调和函数替代调和函数。
• 导出形如 $v_j^+ = \cdots = v_m^+$，$v_i \vee v_j \geq 0$，$v_j(0) = 0$ 的不等式，用于分析值分布，其中 $v_i$ 为非零 $A$-调和函数。
• 使用定量势论估计（例如来自 [22] 的结果）在单位圆盘设定中，以有效界替代唯一性定理。
• 应用 $C$-类概念分析满足博雷尔型关系 $\sum f_j = 0$ 的全纯函数正规族。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用势论方法将皮卡德定理推广至黎曼流形之间的拟正则映射？
• RQ2 对于 $K$-拟正则映射 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，其被略去值的个数的最优上界是什么？
• RQ3 内万林纳第二主定理如何推广至具有非线性除子的 $\mathbb{P}^n$ 中的全纯曲线？
• RQ4 卡坦猜想在满足 $\sum f_j = 0$ 的全纯函数正规族中，在高维情形是否成立？
• RQ5 能否为从单位圆盘出发并略去超曲面的全纯映射导出有效估计，推广兰道定理？

主要发现

• $K$-拟正则映射 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 仅能略去有限多个值，其数量受 $n$ 与 $K$ 限制，推广了里克曼定理。
• 对于 $\mathbb{P}^n$ 中的全纯曲线，不等式 $\sum_{j=1}^q \delta(a_j,f) + \theta(f) \leq n+1$ 成立，其中 $\theta(f) = \limsup_{r\to\infty} \frac{N_1(r,f)}{T(r,f)}$。
• 当 $n=1$ 时，$\theta(f) = 0$ 等价于有限下阶函数满足 $\sum \delta(a,f) = 2$。
• 卡坦猜想在一般情形下对 $p \geq 5$ 不成立，但在 $\mathbb{P}^3$ 中，对于略去5个平面的映射，修正版本（猜想B）成立。
• 当 $p=5$ 时，猜想B已得证明：存在 $r_p < 1$，使得在 $|z| < r_p$ 内，卡坦猜想的结论成立。
• 使用 $A$-调和函数的缩放方法在略去 $m$ 个值时导出矛盾，表明 $m$ 不可能超过势论不等式所暗示的界限。