[论文解读] Value distribution of meromorphic transforms and applications

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|Jun 5, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文建立了在何种条件下，紧致凯勒流形之间的亚纯变换会诱导原像的均衡分布，证明了狄拉克测度的归一化拉回在当前意义下收敛于零。一个关键结果是 $ d_t^{-n}(f^n)^*ω^k $ 收敛于满足 $ f^* u = d_t u $ 的概率测度 $ \mu $，其中 $ \mu $-可积性对拟次调和函数成立，且当 $ f $ 为亚纯映射时具有指数混合性。

ABSTRACT

A meromorphic transform between complex manifolds is a surjective mutivalued map with an analytic graph. Let $F_n$ be a sequence of meromorphic transforms from a compact Kahler manifold X into compact Kahler manifolds X_n. We give conditions which imply that the behavior of the sequence of preimages $F_n^{-1}(x_n)$ of x_n does not depend on the generic sequence of points (x_1,x_2,....). Using this formalism, we obtain sharp results on the limit distribution of common zeros, of $l$ random holomorphic sections of high powers $L^n$ of a positive holomorphic line bundle L over a projective manifold X. We consider also the equidistribution problem for random iteration of correspondences. If f is a meromorphic self correspondence of a compact Kahler manifold X, under a hypothesis on the dynamical degrees, we construct an $f^*$-invariant probability measure $μ$ such that quasi-p.s.h. functions are $μ$-integrable. Every projective manifold admits such correspondences. When f is a meromorphic map, the measure $μ$ is exponentially mixing. We give some analogous results for random iterations of correspondences. We also consider the problem of equidistribution of preimages of subvarieties for a correspondences and more precisely for polynomial automorphisms.

研究动机与目标

• 建立确保亚纯变换原像在当前意义下渐近均衡分布的条件。
• 分析高次正线丛的随机全纯截面的零当前极限分布。
• 研究在紧致凯勒流形之间序列对应关系下，测度的迭代拉回的收敛性。
• 刻画由亚纯对应关系迭代产生的不变测度 $ \mu $，并建立其遍历性与可积性性质。

提出的方法

• 使用具有解析图的亚纯变换形式化方法，在紧致凯勒流形之间定义狄拉克测度的拉回为双纯度 $ (l,l) $ 当前。
• 在无限乘积空间 $ \mathbf{X} = \prod_{n \geq 1} X_n $ 上引入乘积测度 $ \sigma $，以建模目标点 $ x_n $ 的随机性。
• 通过 Ruelle-Perron-Fröbenius 方法应用类似谱间隙的论证，控制拟拟上半谐函数子水平集测度的衰减。
• 利用 $ R_1 $-范数与指数集中不等式，界定函数偏离其均值的集合的测度。
• 使用 Fubini 定理与条件测度的迭代估计，控制乘积空间中异常集的测度。
• 应用正闭当前理论与 $ dd^c $-算子，控制拟拟上半谐函数的曲率，并推导出 $ \mu $ 的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，归一化差值 $ \frac{1}{d(F_n)}[(F_n)^*\delta_{x_n} - (F_n)^*\delta_{x_n'}] $ 在当前意义下收敛于零？
• RQ2 序列 $ \frac{1}{d(F_n)}(F_n)^*\delta_{x_n} $ 何时收敛于极限测度？
• RQ3 作为 $ d_t^{-n}(f^n)^*\omega^k $ 极限得到的不变测度 $ \mu $ 是什么？其动力学与可积性性质如何？
• RQ4 随机全纯截面的零当前与正线丛曲率形式 $ \omega $ 之间的均衡分布关系如何？

主要发现

• 对于 $ \sigma $-几乎处处的序列 $ (x_n) \in \mathbf{X} $，狄拉克测度拉回的归一化差值收敛于零：$ \frac{1}{d(F_n)}[(F_n)^*\delta_{x_n} - (F_n)^*\delta_{x_n'}] \to 0 $ 在当前意义下成立。
• 极限测度 $ \mu $ 满足特征方程 $ f^*\mu = d_t \mu $，其中 $ d_t $ 是亚纯对应关系 $ f $ 的拓扑度。
• 拟拟上半谐函数关于 $ \mu $ 可积，且当 $ f $ 为亚纯映射时，测度 $ \mu $ 具有指数混合性。
• 对于 $ L^n $ 的随机全纯截面，归一化零当前 $ \frac{1}{n}[Z_{s_n}] $ 几乎必然 $ \sigma $-几乎处处收敛于曲率形式 $ \omega $。
• 在多射影设置 $ \mathbb{P}^{k,l} $ 中，$ R_1 $-范数有界于 $ c(1 + \log k) $，且集中函数以 $ \Delta \leq c k^m \exp(-\alpha t) $ 的形式指数衰减。
• 集中估计中的常数仅依赖于因子数 $ l $，而不依赖于 $ k $，从而在维度上实现统一控制。