[论文解读] Value distribution of Ramanujan sums and of cyclotomic polynomial coefficients

Pieter Moree, Huib Hommersom|ArXiv.org|Jul 27, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用 13

一句话总结

本文研究了Ramanujan和 $ c_n(k) $ 以及分圆多项式系数 $ a_n(k) $ 的取值分布，特别关注当 $ n $ 或素数 $ p $ 变化时的情况。本文否定了Möller于1970年提出的关于 $ a_n(k) $ 平均值的猜想，建立了初等对称函数与这些数论对象之间的联系，并对它们在模素数下的分布进行了详尽的渐近分析与数值分析。

ABSTRACT

The Ramanujan sum c_n(k) and a_n(k), the kth coefficient of the nth cyclotomic polynomial, are completely symmetric expressions in terms of primitive nth roots of unity. For fixed k we study the value distribution of c_n(k) (following A. Wintner) and a_n(k) (partly following H. Moller). In particular we disprove a 1970 conjecture of H. Moller on the average (over n) of a_n(k). We show that certain symmetric functions in primitive roots considered by the Dence brothers are related to the behaviour of c_{p-1}(k) and a_{p-1}(k) as p ranges over the primes and study their value distribution as well. This paper is an outgrowth of the M.Sc. thesis project of the second author, carried out under the supervision of the first author at the Korteweg-de Vries Institute (University of Amsterdam) and is written in M.Sc. thesis style. We gratefully acknowledge numerical assistance by Yves Gallot.

研究动机与目标

• 解决Dence兄弟提出的问题，即关于模素数的本原根的对称函数取值分布的开放性问题。
• 研究当 $ n $ 变化时，固定 $ k $ 的Ramanujan和 $ c_n(k) $ 与分圆多项式系数 $ a_n(k) $ 的统计行为。
• 利用分析与数值方法，否定了H. Möller于1970年提出的关于 $ a_n(k) $ 在 $ n $ 上平均值的猜想。
• 建立本原根的对称函数与Ramanujan和、分圆多项式等基本数论对象之间的联系。
• 对模 $ p $ 下的 $ s_k(p) $ 与 $ S_k(p) $ 的取值分布进行全面研究，其中 $ s_k(p) $ 与 $ S_k(p) $ 分别为模 $ p $ 下本原根的初等对称和与幂和。

提出的方法

• 采用解析数论技术，重新审视Wintner关于Ramanujan和的密度与增长阶的研究工作。
• 应用Dirichlet卷积与乘法函数理论，分析 $ c_n(k) $ 与 $ a_n(k) $ 的算术结构。
• 利用Möbius反演与单位根的性质，推导出本原根对称函数的精确表达式。
• 借助Yves Gallot的帮助，采用数值计算方法，评估小 $ k $ 下的 $ a_n(k) $ 与 $ c_n(k) $，实现对经验分布的分析。
• 通过将 $ s_k(p) mod p $ 与 $ S_k(p) mod p $ 的分布与Ramanujan和及分圆多项式系数相联系，分析其分布特性。
• 应用Artin本原根猜想与Mirsky关于平方自由平移素数的结果，建立取值分布的概率模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ p $ 遍历素数时，$ s_k(p) mod p $ 取哪些值，其频率如何？
• RQ2 $ S_k(p) mod p $ 的渐近分布是什么？它与Ramanujan和有何关联？
• RQ3 $ a_n(k) $ 在 $ n $ 上的平均值行为如何？是否支持Möller于1970年的猜想？
• RQ4 本原根的对称函数与分圆多项式系数之间有何联系？
• RQ5 $ s_2(p) mod p $ 取值于 $ \{-1, 0, 1\} $ 的极限频率是多少？它是否收敛于前 $ 10^6 $ 个素数中观察到的比例？

主要发现

• 本文否定了Möller于1970年提出的猜想，即 $ a_n(k) $ 在 $ n $ 上的平均值有界；结果表明该平均值呈对数增长，且并非一致有界。
• 对于 $ k=2 $，在前 $ 10^6 $ 个素数中，$ s_2(p) mod p $ 的取值分布收敛于约 $ 9.39\%: 62.62\%: 27.98\% $ 的比例，支持极限值分别为 $ 1/11 \% $、$ 7/11 \% $、$ 3/11 \% $ 的猜想。
• $ s_k(p) mod p $ 的分布与Ramanujan和 $ c_{p-1}(k) $ 相关，其取值被限制在有限小集合中。
• 对小 $ k $ 的分圆多项式第 $ k $ 项系数 $ a_n(k) $ 进行了数值分析，计算出 $ n \bmod 60 $ 及 $ n=59,60,61 $ 时的精确有理数值。
• 对于 $ n=61 $，以高精度计算了 $ a_n(k) $ 的分布，结果表明 $ V_{61}[+1] \bmod 1 $ 约为 $ 0.172966 $，表明其分布非均匀。
• 本文确立了 $ S_k(p) \bmod p $（即模 $ p $ 下本原根的 $ k $ 次幂和）与Ramanujan和密切相关，其分布虽非均匀，但具有可预测性。