[论文解读] Values of E-functions are not Liouville numbers

Stéphane Fischler, Tanguy Rivoal|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2023

Advanced Topics in Algebra被引用 1

一句话总结

该论文为代数点处E-函数值建立了定量线性无关性度量，将Shidlovskii定理的适用范围从有理系数和非奇点扩展至任意代数系数。证明了此类值永远不是Liouville数，通过改进的E-算子理论与Galois下降技巧，解决了长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

Shidlovskii has given a linear independence measure of values of $E$-functions with rational Taylor coefficients at a rational point, not a singularity of the underlying differential system satisfied by these $E$-functions. Recently, Beukers has proved a qualitative linear independence theorem for the values at an algebraic point of $E$-functions with arbitrary algebraic Taylor coefficients. In this paper, we obtain an analogue of Shidlovskii's measure for values of arbitrary $E$-functions at algebraic points. This enables us to solve a long standing problem by proving that the value of an $E$-function at an algebraic point is never a Liouville number. We also prove that values at rational points of $E$-functions with rational Taylor coefficients are linearly independent over $\overline{\mathbb{Q}}$ if and only if they are linearly independent over $\mathbb{Q}$. Our methods rest upon improvements of results obtained by André and Beukers in the theory of $E$-operators.

研究动机与目标

• 将Shidlovskii的定量线性无关性度量推广至具有任意代数系数的E-函数。
• 在E-函数值的丢番图逼近中，去除对求值点z₀的非奇点假设。
• 解决E-函数值是否可能为Liouville数的开放问题。
• 利用Galois下降建立关于Q与数域上线性无关性的判别准则。

提出的方法

• 应用André与Beukers关于E-算子的改进结果，控制微分系统解的增长。
• 使用Galois下降论证，将Q上线性相关性与数域上线性相关性联系起来。
• 利用Bertrand-Beukers的重数估计，推导出E-函数值线性型的有效下界。
• 通过Galois共轭引入基于范数的下界，类似于Liouville对代数数的方法。
• 构造一个系数属于数域K的E-函数向量，以统一应用定理1。
• 将f(z₀)的逼近问题转化为利用新度量控制线性型λ₁f₁(z₀) + ⋯ + λₙfₙ(z₀)的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 E-函数在代数点处的取值是否可能为Liouville数？
• RQ2 是否存在适用于任意数域且无需非奇点假设的E-函数值定量线性无关性度量？
• RQ3 E-函数在代数点处的取值在Q上线性无关与在数域上线性无关是否等价？
• RQ4 Shidlovskii度量能否推广至有理系数和奇点之外的情形？

主要发现

• 任何代数点处E-函数的取值都不是Liouville数，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 对任意数域K、代数点z₀ ∈ K，以及系数属于K的E-函数向量f，线性型Λ = ∑λⱼfⱼ(z₀)满足|Λ| > cH⁻ᵈᴺᵈ⁺¹⁻ᵝ，其中任意ε > 0，H = max|λⱼ|。
• 常数c > 0有效依赖于ε、K、z₀及E-函数向量，但未显式计算。
• E-函数在Q上线性无关等价于其在任意数域K上线性无关。
• 证明方法通过将代数整数替换为E-函数值、将范数替换为Galois平均，推广了Liouville对代数数的方法。
• 该结果首次建立了Beukers关于任意数域的定性线性无关性定理的有效定量版本。