[论文解读] Values of the Euler phi function not divisible by a prescribed odd prime

Pieter Moree|ArXiv.org|Nov 16, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文为计数函数 ${\cal E}_q(x)$ 提供了显著更精确的渐近展开，该函数用于计数满足 $q \nmid \varphi(n)$ 的整数 $n \leq x$，其中 $q$ 为一个固定的奇素数。通过使用 Frobenian 集合和分圆域的 Dedekind zeta 函数，本文在 Spearman 和 Williams 的结果基础上，推导出完整的 Poincaré 型渐近级数，并在 GRH 假设下，确定了对于每个 $q$，Ramanujan 型或朴素对数积分近似中哪一种在渐近意义下更优。

ABSTRACT

Let phi denote Euler's phi function. For a fixed odd prime we give an asymptotic series expansion in the sense of Poincare for the number E_q(x) of n<=x such that q does not divide phi(n). Thereby we improve on a recent theorem of B.K. Spearman and K.S. Williams [Ark. Mat. 44 (2006), 166-181]. Furthermore we resolve, under the Generalized Riemann Hypothesis, which of two approximations to E_q(x) is asymptotically superior using recent results of Y. Ihara on the Euler-Kronecker constant of a number field.

研究动机与目标

• 改进 Spearman 和 Williams 对满足 $q \nmid \varphi(n)$ 的整数 $n \leq x$ 的数量的渐近估计，其中 $q$ 为奇素数。
• 在 Poincaré 意义下，为 ${\cal E}_q(x)$ 提供完整的渐近级数展开，以改进主导项估计。
• 在广义 Riemann 猜想（GRH）下，确定对于每个 $q$，两种近似方法——朴素型或 Ramanujan 型——中哪一种在渐近意义下更优。
• 通过使用 Dedekind zeta 函数的 Euler 乘积，简化原始公式中常数 $C(q)$ 的证明，表明 $C(q) = C(q,1)$。
• 建立分圆域的 Euler-Kronecker 常数与 ${\cal E}_q(x)$ 渐近行为之间的联系。

提出的方法

• 应用素数 Frobenian 集合的理论，特别是利用伽罗瓦扩张中的 Frobenius 密度，来建模满足 $q \nmid \varphi(n)$ 的整数 $n$ 的乘法结构。
• 利用分圆域 $K(q) = \mathbb{Q}(\zeta_q)$ 的 Dedekind zeta 函数 $\zeta_{K(q)}(s)$，定义一个生成 Dirichlet 级数 $h_q(s)$，其在 $s=1$ 附近的性质决定了 ${\cal E}_q(x)$ 的渐近行为。
• 在 $s=1$ 附近对 $h_q(s)/s$ 进行展开，其极点阶数为 $(q-2)/(q-1)$，从而可导出 ${\cal E}_q(x)$ 的 Poincaré 型渐近级数。
• 将主导常数 $e_0(q)$ 表示为 $\alpha(q) = \mathrm{Res}_{s=1} \zeta_{K(q)}(s)$ 的残量、类数 $h(q)$、单位群的调节子 $R(q)$ 以及 Euler 乘积 $C(q,s)$ 的函数。
• 利用 Ihara 最近在 GRH 下对数域 Euler-Kronecker 常数的研究结果，比较朴素近似 $e(q)x / \log^{1/(q-1)}x$ 与 Ramanujan 型积分 $e(q)\int_2^x dt / \log^{1/(q-1)}t$ 的误差项。
• 通过 MAGMA 进行数值计算，验证特定素数 $q$ 下理论比较结果的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Spearman 和 Williams 的主导项公式之外，能否对满足 $q \nmid \varphi(n)$ 的 $n \leq x$ 的数量的渐近估计进行改进？
• RQ2 ${\cal E}_q(x)$ 的渐近展开的精确结构是什么？如何利用 zeta 函数和 Frobenian 集合推导出该结构？
• RQ3 对于 ${\cal E}_q(x)$，Ramanujan 型积分近似 $\int_2^x dt / \log^{1/(q-1)}t$ 是否在渐近意义下优于朴素近似 $x / \log^{1/(q-1)}x$？
• RQ4 在 GRH 下，对于哪些奇素数 $q$，Ramanujan 型近似优于朴素近似？
• RQ5 能否利用 Euler 乘积恒等式，将原始公式中的常数 $C(q)$ 简化并重新解释为 $C(q,1)$？

主要发现

• 本文建立了 ${\cal E}_q(x)$ 的完整 Poincaré 型渐近展开：${\cal E}_q(x) = \frac{x}{\log^{1/(q-1)}x}\left(e_0(q) + \frac{e_1(q)}{\log x} + \cdots + O\left(\frac{1}{\log^{k+1}x}\right)\right)$，其精度远超 Spearman 和 Williams 的主导项估计。
• 主导常数 $e_0(q)$ 明确定义为 $e_0(q) = \frac{(1 - q^{-2})}{\Gamma\left(\frac{q-2}{q-1}\right) \left(C(q)(1 - q^{-1})\alpha(q)\right)^{1/(q-1)}}$，其中 $\alpha(q)$ 为 $\zeta_{K(q)}(s)$ 在 $s=1$ 处的留数。
• 在 GRH 下，对于所有奇素数 $q \leq 67$，Ramanujan 型近似在渐近意义下更优；而对于 $q > 67$，朴素近似更优。
• 本文证明了 $C(q) = C(q,1)$，其中 $C(q,s)$ 是对满足 $f_p \geq 2$ 的素数 $p \neq q$ 的 Euler 乘积，从而简化了 Spearman 和 Williams 原始表达式中的形式。
• 数值计算结果表明，对于 $q \leq 67$，Ramanujan 型近似始终比朴素近似产生更小的误差，且随着 $q$ 增大，两者的差异趋于可忽略。
• 分析表明，Ihara 在 GRH 下研究的分圆域 $K(q)$ 的 Euler-Kronecker 常数，是比较两种近似方法的关键决定因素。