[论文解读] Van der Waals like behavior and equal area law of two point correlation function of f(R) AdS black holes

Jie-Xiong Mo, Gu-Qiang Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用 5

一句话总结

本研究通过测地线长度 dL，利用两点关联函数研究 f(R) AdS 黑洞的性质，揭示了类似范德瓦尔斯的相变行为，并验证了类比的等面积律。尽管 f(R) 引力参数 b 变化，一阶相变温度 T* ≈ 0.2847050173 保持不变，精度达 10⁻¹⁰，且临界指数接近 2/3，证实了普遍临界行为的一致性。

ABSTRACT

To gain holographic insight into critical phenomena of $f(R)$ AdS black holes, we investigate their two point correlation function, which are dual to the geodesic length in the bulk. We solve the equation of motion constrained by the boundary condition numerically and probe both the effect of boundary region size and $f(R)$ gravity. Moreover, we introduce an analogous specific heat related to $\delta L$. It is shown in the $T-\delta L$ graph for the case $Q<Q_c$ that both the large radius branch and the small radius branch are stable with positive specific heat while the medium radius branch is unstable with negative specific heat. We carry out free energy analysis to determine the first order phase transition temperature $T_*$ and remove the unstable branch in $T-\delta L$ curve with a bar $T=T_*$. It is shown that the values of free energy are influenced by the parameter $b$ showing the impact of $f(R)$ gravity. However, to one's surprise, the numerical result of $T_*$ turns out to be $0.2847050173$ for all the three choices of $b$, implying that the first order phase transition temperature $T_*$ is the same at least to the order of $10^{-10}$ for different choices of $b$. We also check the analogous equal area law numerically and find that the relative errors for the cases $ heta_0=0.1$ and $ heta_0=0.2$ are small enough. The fitting functions between $ \log\mid T -T_c\mid$ and $\log\mid\delta L-\delta L_c\mid $ for both cases are also obtained. It is shown that the slope is around 3, implying that the critical exponent is about $2/3$. This result is in accordance with those in former literatures of specific heat related to the thermal entropy or entanglement entropy .

研究动机与目标

• 通过两点关联函数作为全息探测器，研究 f(R) AdS 黑洞中的临界现象。
• 通过从 δL 导出的类比比热，分析 T–δL 图中不同分支的热力学稳定性。
• 确定一阶相变温度 T* 并评估其对 f(R) 引力参数 b 的依赖性。
• 在 T–δL 平面中检验等面积律的有效性，并从标度行为中提取临界指数。

提出的方法

• 数值求解边界条件下的测地线运动方程，计算 δL 随温度 T 的函数关系。
• 定义类比比热 CδL = (∂δL/∂T)⁻¹，以评估 T–δL 曲线中不同分支的热力学稳定性。
• 进行自由能分析，识别一阶相变温度 T*，并剔除不稳定的中等半径分支。
• 在数值上应用等面积律以验证相共存，并计算 θ₀ = 0.1 和 θ₀ = 0.2 时的相对误差。
• 拟合 log|T − Tc| 与 log|δL − δLc| 的关系，以提取临界指数并评估 universality（普遍性）。

实验结果

研究问题

• RQ1 f(R) AdS 黑洞的两点关联函数在 T–δL 平面中是否表现出类似范德瓦尔斯的行为？
• RQ2 尽管 b 对自由能有影响，一阶相变温度 T* 是否与 f(R) 引力参数 b 无关？
• RQ3 对于不同边界区域大小，等面积律在 T–δL 图中的数值成立程度如何？
• RQ4 在临界点附近 δL 发散的临界指数是多少？其是否与已知的普遍性类一致？
• RQ5 T–δL 曲线中不同分支（大、中、小半径）的稳定性与类比比热的符号之间有何关联？

主要发现

• 对 f(R) 参数 b 的三个测试值，一阶相变温度 T* 均为 0.2847050173，表明其在 10⁻¹⁰ 精度下保持不变。
• T–δL 曲线中的中等半径分支因比热为负而不稳定，而大半径和小半径分支因比热为正而稳定。
• 等面积律的数值验证显示，θ₀ = 0.1 和 θ₀ = 0.2 时的相对误差均较小，支持了相共存条件的有效性。
• 通过拟合 log|T − Tc| 与 log|δL − δLc| 的关系，得到斜率约为 3，表明临界指数为 2/3。
• 临界指数 2/3 与基于热熵或纠缠熵的研究结果一致，证实了临界行为的普遍性。