[论文解读] van't Hoff-Arrhenius Analysis of Mesoscopic and Macroscopic Dynamics of Simple Biochemical Systems: Stochastic vs. Nonlinear Bistabilities

Yunxin Zhang, Hao Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对介观生化系统的范特霍夫-阿伦尼乌斯分析方法，将系统尺寸 $V$ 类比为倒数温度，以区分非线性双稳态（确定性，焓驱动）与噪声诱导的随机双稳态（熵垒驱动）。关键贡献在于提出分解式 $\Delta\Phi^{\ddag}(V) \approx \Delta\phi_0^{\ddag} + \Delta\phi_1^{\ddag}/V$，其中非线性双稳态对应 $\Delta\phi_0^{\ddag} > 0$，而随机双稳态对应 $\Delta\phi_0^{\ddag} < 0$ 但 $\Delta\phi_1^{\ddag} > 0$，从而解释了为何在后一种情况下过渡速率随 $V$ 增大而增加。

ABSTRACT

Multistability of mesoscopic, driven biochemical reaction systems has implications to a wide range of cellular processes. Using several simple models, we show that one class of bistable chemical systems has a deterministic counterpart in the nonlinear dynamics based on the Law of Mass Action, while another class, widely known as noise-induced stochastic bistability, does not. Observing the system's volume ($V$) playing a similar role as the inverse temperature ($β$) in classical rate theory, an van't Hoff-Arrhenius like analysis is introduced. In one-dimensional systems, a transition rate between two states, represented in terms of a barrier in the landscape for the dynamics $Φ(x,V)$, $k\propto\exp\{-VΔΦ^‡(V)\}$, can be understood from a decomposition $ΔΦ^‡(V) \approxΔϕ_0^‡ Δϕ_1^‡/V$. Nonlinear bistability means $Δϕ_0^‡&gt;0$ while stochastic bistability has $Δϕ_0^‡&lt;0$ but $Δϕ_1^‡&gt;0$. Stochastic bistabilities can be viewed as remants (or "ghosts) of nonlinear bifurcations or extinction phenomenon, and $Δϕ_0^‡$ and $Δϕ_1^‡$ as "enthalpic" and "entropic" barriers to a transition.

研究动机与目标

• 区分介观生化系统中确定性的非线性双稳态与噪声诱导的随机双稳态。
• 开发一个理论框架，将系统尺寸 $V$ 作为控制参数，类比经典过渡态理论中的倒数温度。
• 通过将势能函数 $\Phi(x,V)$ 分解为焓贡献 ($\phi_0$) 和熵贡献 ($\phi_1/V$)，表征稳定态之间的过渡速率。
• 解释为何在随机双稳态中过渡速率随 $V$ 增大而增加，而与非线性双稳态中速率下降的现象相反。
• 通过大-$V$ 渐近分析与李雅普诺夫函数，建立化学主方程与宏观常微分方程动力学之间的联系。

提出的方法

• 使用化学主方程（CME）与古列维奇算法模拟有限体积 $V$ 下反应系统的介观随机动力学。
• 推导出稳态分布 $p_n^{st} \propto e^{-V\Phi(n,V)}$，其中 $\Phi(n,V) = \phi_0(x) + \phi_1(x)/V + \cdots$，$x = n/V$。
• 应用大-$V$ 渐近展开，提取 $\phi_0(x)$ 作为宏观常微分方程系统 $dx/dt = F(x)$ 的李雅普诺夫函数。
• 依赖分解式 $\Delta\Phi^{\ddag}(V) \approx \Delta\phi_0^{\ddag} + \Delta\phi_1^{\ddag}/V$，根据 $\Delta\phi_0^{\ddag}$ 与 $\Delta\phi_1^{\ddag}$ 的符号对双稳态类型进行分类。
• 应用克拉默斯理论与拉普拉斯方法，推导出平均首达通过时间 $T_{x_1^* \to x_2^*} \propto e^{V[\Phi(x^{\ddag},V) - \Phi(x_1^*,V)]}$，将过渡速率与势能函数联系起来。
• 利用细致平衡与广义系综模型验证 $V\phi_0(x) + \phi_1(x)$ 的凸性，确保封闭系统中平衡态的单峰性。

实验结果

研究问题

• RQ1 系统尺寸 $V$ 如何影响随机生化系统中稳定态之间过渡速率？
• RQ2 从体积依赖性角度，非线性双稳态（确定性）与噪声诱导的随机双稳态有何区别？
• RQ3 能否将类似范特霍夫-阿伦尼乌斯的分析方法应用于生化系统，将 $V^{-1}$ 类比为倒数温度？
• RQ4 $\phi_0(x)$ 与 $\phi_1(x)$ 在表征自由能垒的焓贡献与熵贡献方面分别起什么作用？
• RQ5 为何在随机双稳态中过渡速率随 $V$ 增大而增加，而在非线性双稳态中却减小？

主要发现

• 非线性双稳态由 $\Delta\phi_0^{\ddag} > 0$ 表征，意味着焓垒随系统尺寸增大而升高，导致过渡速率随 $V$ 增大而下降。
• 当 $\Delta\phi_0^{\ddag} < 0$ 但 $\Delta\phi_1^{\ddag} > 0$ 时出现随机双稳态，表明存在随 $V$ 增大而减小的熵垒，导致过渡速率上升。
• 化学主方程的稳态分布渐近形式为 $p^{st}_n(V) \approx e^{-V\phi_0(x) - \phi_1(x)}$，其中 $\phi_0(x)$ 是宏观常微分方程系统的李雅普诺夫函数。
• 稳定态之间的平均首达通过时间按 $T \propto e^{V[\Phi(x^{\ddag},V) - \Phi(x_1^*,V)]}$ 缩放，证实了势能函数 $\Phi(x,V)$ 在决定过渡动力学中的作用。
• 在满足细致平衡的系统中，平衡分布保持单峰，且 $V\phi_0(x) + \phi_1(x)$ 为凸函数，确保系统稳定并防止自发出现双峰。
• 在开放系统中，灭绝的‘幽灵’无法仅通过 $\phi_1(x)$ 检测到，因为其渐近展开在边界处不具有一致有效性。