[论文解读] Vanishing dissipation limit to the planar rarefaction wave for the three-dimensional compressible Navier-Stokes-Fourier equations

Linan Li, Dehua Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

该论文建立了三维可压缩N-S-F方程在粘性系数与热导率趋于零时向三维可压缩Euler方程平面稀疏波解的消失耗散极限，证明了在粘性与热导率系数中具有显式衰减速率的统一收敛性。通过引入新颖的双曲标度法并改进先验估计，克服了三维问题的挑战，收敛速率由原始变量中非线性通量项决定。

ABSTRACT

We study the vanishing dissipation limit of the three-dimensional (3D) compressible Navier-Stokes-Fourier equations to the corresponding 3D full Euler equations. Our results are twofold. First, we prove that the 3D compressible Navier-Stokes-Fourier equations admit a family of smooth solutions that converge to the planar rarefaction wave solution of the 3D compressible Euler equations with arbitrary strength. Second, we obtain a uniform convergence rate in terms of the viscosity and heat-conductivity coefficients. For this multi-dimensional problem, we first need to introduce the hyperbolic wave to recover the physical dissipations of the inviscid rarefaction wave profile as in our previous work [29] on the two-dimensional (2D) case. However, due to the 3D setting that makes the analysis significantly more challenging than the 2D problem, the hyperbolic scaled variables for the space and time could not be used to normalize the dissipation coefficients as in the 2D case. Instead, the analysis of the 3D case is carried out in the original non-scaled variables, and consequently the dissipation terms are more singular compared with the 2D scaled case. Novel ideas and techniques are developed to establish the uniform estimates. In particular, more accurate {\it a priori} assumptions with respect to the dissipation coefficients are crucially needed for the stability analysis, and some new observations on the cancellations of the physical structures for the flux terms are essentially used to justify the 3D limit. Moreover, we find that the decay rate with respect to the dissipation coefficients is determined by the nonlinear flux terms in the original variables for the 3D limit in this paper, but fully determined by the error terms in the scaled variables for the 2D case in [29].

研究动机与目标

• 建立三维可压缩N-S-F方程向三维可压缩Euler方程在平面稀疏波下的消失耗散极限。
• 推导三维情形下以粘性和热导率系数表示的统一收敛速率。
• 克服三维情形相较于先前二维结果的更高复杂性，特别是处理奇异耗散项的挑战。
• 发展新的分析技术，包括改进的先验假设与通量项中的结构抵消，以实现三维情形下的稳定性。

提出的方法

• 引入双曲波框架以在无粘稀疏波剖面中恢复物理耗散，扩展了先前的二维方法。
• 在原始未缩放变量中进行分析，因为二维缩放技术在三维中不适用，导致出现更具奇异性耗散项。
• 采用新颖的先验假设（公式3.9），其显式依赖于耗散系数以控制非线性项。
• 利用通量项物理结构中的精确抵消，以证明极限的合理性并稳定系统。
• 应用Sobolev、Hölder与Young不等式控制非线性项，结合$ L^2 $与$ H^1 $范数中的细致能量估计。
• 使用椭圆估计关联速度与温度扰动的高阶导数，实现能量估计的闭合。

实验结果

研究问题

• RQ1 当粘性与热导率趋于零时，三维可压缩N-S-F方程是否能收敛至三维可压缩Euler方程的平面稀疏波解？
• RQ2 在三维情形下，以耗散系数表示的统一收敛速率是什么？
• RQ3 通量项中的结构抵消如何影响解的稳定性和收敛性？
• RQ4 为何三维情形在本质上比二维情形更具挑战性，需要哪些新技术？
• RQ5 与二维情形中缩放变量下的误差衰减速率相比，三维情形下误差的衰减速率如何依赖于原始变量中的非线性通量项？

主要发现

• 三维可压缩N-S-F方程存在光滑解，其收敛于三维可压缩Euler方程的平面稀疏波解，且对任意波强均成立。
• 建立了统一收敛速率：在$ L^2 $范数下，误差衰减速率为$ \mathcal{O}(\varepsilon^{5/3} |\ln \varepsilon|^{-8}) + \mathcal{O}(\varepsilon^{8/3} |\ln \varepsilon|^{-14}) $。
• 三维情形下的衰减速率由原始变量中的非线性通量项决定，与二维情形中由缩放变量下的误差项主导的情况形成对比。
• 对于充分小的$ \varepsilon > 0 $，分析成功闭合了先验假设（3.9），确认了估计的有效性。
• 该方法通过避免缩放，转而采用改进的估计与结构抵消，成功处理了三维中更具奇异性耗散项。
• 研究将先前的二维结果推广至更复杂的三维情形，为多维可压缩流中消失耗散极限建立了严格的理论框架。