[论文解读] Vanishing-Error Approximate Degree and QMA Complexity

Alexander A. Sherstov, Justin Thaler|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文为三个基本布尔函数——元素互异性、满射性和置换测试——建立了消失误差近似度的紧致界，分别显示其规模为 $\Theta(n^{2/3}\log^{1/3}(1/\epsilon))$、$\tilde{\Theta}(n^{3/4}\log^{1/4}(1/\epsilon))$ 和 $\Theta(n^{1/3}\log^{2/3}(1/\epsilon))$。此外，该研究将此近似度与量子梅林-亚瑟（QMA）查询复杂度联系起来，证明了置换测试的 $\Omega(n^{1/4})$ 下界，显著优于先前的 $\Omega(n^{1/6})$ 下界。

ABSTRACT

The $ε$-approximate degree of a function $f\colon X o \{0, 1\}$ is the least degree of a multivariate real polynomial $p$ such that $|p(x)-f(x)| \leq ε$ for all $x \in X$. We determine the $ε$-approximate degree of the element distinctness function, the surjectivity function, and the permutation testing problem, showing they are $Θ(n^{2/3} \log^{1/3}(1/ε))$, $ ildeΘ(n^{3/4} \log^{1/4}(1/ε))$, and $Θ(n^{1/3} \log^{2/3}(1/ε))$, respectively. Previously, these bounds were known only for constant $ε.$ We also derive a connection between vanishing-error approximate degree and quantum Merlin--Arthur (QMA) query complexity. We use this connection to show that the QMA complexity of permutation testing is $Ω(n^{1/4})$. This improves on the previous best lower bound of $Ω(n^{1/6})$ due to Aaronson (Quantum Information & Computation, 2012), and comes somewhat close to matching a known upper bound of $O(n^{1/3})$.

研究动机与目标

• 确定对于任意小的 $\epsilon > 0$，元素互异性、满射性和置换测试函数的消失误差近似度，扩展此前仅对常数 $\epsilon$ 已知的结果。
• 建立消失误差近似度与量子梅林-亚瑟（QMA）查询复杂度之间全新的联系。
• 将置换测试的QMA复杂度下界从 $\Omega(n^{1/6})$ 提升至 $\Omega(n^{1/4})$，接近已知的 $O(n^{1/3})$ 上界。
• 开发一种通用技术，用于将具有特定子函数结构的函数的有界误差近似度下界推广至消失误差情形。

提出的方法

• 提出一种新方法，通过分析包含 $\text{AND}_k \circ f_{\lfloor n/k \rfloor}$ 作为子函数（对所有 $k \leq n$）的函数，将有界误差近似度下界推广至消失误差情形。
• 利用对称化和对置换的多项式平均，构造保持输入对称性下误差边界的低次逼近多项式。
• 利用QMA查询协议与低次多项式之间的联系，采用Marriott-Watrous放大技术的变体，推导出具有受控误差和次数的多项式表示。
• 通过比较单边近似度与查询代价，将近似度下界应用于推导QMA查询复杂度下界。
• 利用Beals等人建立的结果：$T$-查询量子算法的接受概率是次数为 $2T$ 的多项式，从而将QMA协议与低次多项式关联起来。
• 通过量子查询下界和 $\epsilon < 1/3^n$ 情况下的插值论证，证明边界的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意小的 $\epsilon$，元素互异性函数的精确消失误差近似度是什么？
• RQ2 满射性和置换测试的消失误差近似度是否能超越常数 $\epsilon$ 范畴，被紧密刻画？
• RQ3 是否存在一种通用方法，可将具有结构化特征的函数的有界误差近似度下界推广至消失误差情形？
• RQ4 消失误差近似度与量子查询复杂度（特别是QMA复杂度）之间有何关系？
• RQ5 能否弥合置换测试的 $\Omega(n^{1/4})$ QMA下界与 $O(n^{1/3})$ 上界之间的差距？

主要发现

• 元素互异性的 $\epsilon$-近似度为 $\Theta(n^{2/3}\log^{1/3}(1/\epsilon))$，与最佳已知构造一致，并证明了其最优性。
• 满射性的 $\epsilon$-近似度为 $\tilde{\Theta}(n^{3/4}\log^{1/4}(1/\epsilon))$，将先前结果扩展至消失误差情形。
• 置换测试的 $\epsilon$-近似度为 $\Theta(n^{1/3}\log^{2/3}(1/\epsilon))$，通过量子查询论证证明其紧致性。
• 置换测试的QMA查询复杂度为 $\Omega(n^{1/4})$，优于先前的 $\Omega(n^{1/6})$ 下界。
• 对于 $k$-元素互异性，$\epsilon$-近似度为 $\tilde{\Omega}(n^{3/4 - 1/(2k)} \log^{1/4 + 1/(2k)}(1/\epsilon))$，接近已知上界。
• 本文表明，标准的近似度误差缩减方法对任意具有次线性近似度的函数，目前尚不明确其紧致性，揭示了该领域的一个开放问题。