[论文解读] Vanishing moment method and moment solutions for second order fully nonlinear partial differential equations

Xiaobing Feng, Michael Neilan|ArXiv.org|Aug 13, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 37被引用 21

一句话总结

本文提出了一种消失矩方法，作为一种构造性方法，用于计算二阶完全非线性PDE的矩解，通过高阶拟线性PDE进行逼近。该方法使标准数值格式能够实现收敛，并表明当粘性解存在时，矩解与粘性解一致，为非变分粘性解提供了一种实用且理论基础坚实的替代方案。

ABSTRACT

This paper concerns with numerical approximations of solutions of second order fully nonlinear partial differential equations (PDEs). A new notion of weak solutions, called moment solutions, is introduced for second order fully nonlinear PDEs. Unlike viscosity solutions, moment solutions are defined by a constructive method, called vanishing moment method, hence, they can be readily computed by existing numerical methods such as finite difference, finite element, spectral Galerkin, and discontinuous Galerkin methods with "guaranteed" convergence. The main idea of the proposed vanishing moment method is to approximate a second order fully nonlinear PDE by a higher order, in particular, a fourth order quasilinear PDE. We show by various numerical experiments the viability of the proposed vanishing moment method. All our numerical experiments show the convergence of the vanishing moment method, and they also show that moment solutions coincide with viscosity solutions whenever the latter exist.

研究动机与目标

• 为长期存在的数值逼近二阶完全非线性PDE的挑战提供解决方案，这类PDE缺乏变分结构，难以通过传统方法计算。
• 通过引入通过正则化逼近过程得到的矩解，提出一种粘性解的构造性替代方案，以克服粘性解非构造性且缺乏离散等价性的局限。
• 提供一个系统性的数值框架，使有限元、有限差分和不连续伽辽金格式等标准方法可用于完全非线性PDE。
• 通过二维和三维的大量数值实验，证明消失矩方法的收敛性和精度，包括无经典解的情况。
• 建立矩解与粘性解之间的联系，表明当粘性解存在时，二者一致。

提出的方法

• 消失矩方法通过引入一个趋于零的小正则化参数ε，将二阶完全非线性PDE近似为四阶拟线性PDE。
• 矩解被定义为当ε → 0时，正则化四阶PDE解的极限，从而提供一种与非构造性粘性解概念不同的构造性定义。
• 该方法被应用于多种PDE类，包括Monge-Ampère方程、Pucci的极值方程、无穷Laplace方程以及抛物型完全非线性PDE。
• 通过混合有限元方法（如广义Hermann-Miyoshi单元）、有限差分、谱方法和不连续伽辽金方法对正则化问题进行离散化。
• 对消失矩方法的收敛性进行了分析，并在多个测试问题中进行了数值验证，包括无经典解的三维问题。
• 该方法确保了当粘性解存在时，计算得到的矩解与之保持一致，这一结论通过数值实验得到证实。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二阶完全非线性PDE定义一种构造性且数值可处理的弱解概念，以克服粘性解的局限性？
• RQ2 消失矩方法是否能通过标准离散化格式，为完全非线性PDE提供收敛且稳定的数值逼近？
• RQ3 在已知粘性解存在的情况下，矩解在多大程度上与粘性解一致？
• RQ4 消失矩方法能否有效应用于三维完全非线性PDE，特别是在缺乏经典解的情况下？
• RQ5 该方法在非凸区域或具有奇异行为的问题（如三维中f ≡ 1且g ≡ 0的Monge-Ampère方程）中是否具有鲁棒性？

主要发现

• 消失矩方法成功地使用有限元、有限差分和不连续伽辽金格式等标准数值方法计算了二阶完全非线性PDE的矩解，且保证收敛。
• 在测试10中，该方法准确捕捉了三维Monge-Ampère方程的精确凸解，其中f和g由指数函数给出，ε = 10⁻³。
• 在测试11中，尽管不存在经典解，该方法仍收敛到三维Monge-Ampère问题唯一凸粘性解，其中f ≡ 1且g ≡ 0。
• 数值结果表明，当粘性解存在时，矩解与粘性解一致，验证了该方法与现有理论的一致性。
• 该方法在三维中表现出鲁棒性和收敛性，为三维空间中完全非线性PDE提供了首个已知的数值结果。
• 广义Hermann-Miyoshi混合有限元方法有效离散了四阶正则化问题，使矩解的精确计算成为可能。