[论文解读] Vanishing of the anchored isoperimetric profile in bond percolation at p c

Cerf, Raphaël, Dembin, Barbara|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{Z}^d$ 上的键型渗流临界概率 $p_c$ 处的锚定等周轮廓，通过有限方盒将轮廓定义扩展至 $p = p_c$。若 $n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ 的极限存在，则其必为零，该结论通过基于簇生长与半空间中无渗流的反证法证明。

ABSTRACT

We consider the anchored isoperimetric profile of the infinite open cluster, defined for $p > p\\_c$, whose existence has been recently proved in [3]. We extend adequately the definition for $p = p\\_c$, in finite boxes. We prove a partial result which implies that, if the limit defining the anchored isoperimetric profile at $p\\_c$ exists, it has to vanish.

研究动机与目标

• 将键型渗流在 $\mathbb{Z}^d$ 上临界点 $p_c$ 处的锚定等周轮廓定义进行扩展。
• 分析当 $n \to \infty$ 时 $n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ 的渐近行为。
• 确定 $n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ 的极限在临界状态下是否可能为正。
• 在极限存在的假设下，建立部分结果，表明该极限必为零。
• 基于簇探索与半空间中无渗流，使用反证法。

提出的方法

• 将 $\widehat{\varphi}_n(p)$ 定义为所有包含原点且满足 $|H| \leq n^d$ 的连通子图 $H$ 在簇 $\mathcal{C}(0)$ 中的最小边边界与体积比，其中 $p \in [0,1]$。
• 构建一个受限于方盒 $[-n,n]^d$ 内的 $\mathcal{C}(0)$ 探索过程，当不再发现新顶点时停止。
• 假设 $\liminf_{n\to\infty} n\widehat{\varphi}_n(p_c) > 0$ 以导出矛盾。
• 利用粗粒化与归纳法，证明已探索簇的大小至少为 $n^{d-1}$，意味着其与方盒各面的边界相交较大。
• 利用半空间中无渗流的结果，表明在半空间中与原点相连的顶点的期望数量较小。
• 通过证明某一面中大边界连接的概率超过阈值，导出矛盾，从而违反半空间无渗流结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，锚定等周轮廓 $\widehat{\varphi}_n(p_c)$ 是否趋于零？
• RQ2 在临界状态下，$\lim_{n\to\infty} n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ 的极限是否可能为正？
• RQ3 在临界点处，簇生长与边界大小的渐近行为如何？
• RQ4 半空间中无渗流如何约束临界簇的几何结构？
• RQ5 能否从假设 $n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ 具有正下确界出发，导出矛盾？

主要发现

• 若极限 $\lim_{n\to\infty} n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ 存在，则其必为零。
• 证明依赖于反证法，假设 $\liminf_{n\to\infty} n\widehat{\varphi}_n(p_c) > 0$，从而得出簇边界大小至少为 $c n^{d-1}$。
• 在假设下，簇探索过程表明，原点在方盒内连接的顶点数至少为 $\alpha (n/k)^d$，其中 $\alpha > 0$。
• 已证明方盒 $[-n,n]^d$ 的某一面与边界的交集至少为 $c\alpha n^{d-1}/(2^d k^d 2d)$，且该事件具有正概率。
• 利用半空间无渗流结果，此类顶点的期望数量被限制为 $\eta (2n+1)^{d-1}$，且可被任意缩小。
• 矛盾产生于：该期望值过小，无法支持所需数量的边界连接顶点，从而违反先前的下界。