[论文解读] Vanishing Pressure Limit of Solutions to the Aw-Rascle Model for Modified Chaplygin gas

Jinhuan Wang, Jinjing Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究了修正Chaplygin气体的Aw-Rascle模型在压强趋于零时的极限行为，表明当压强参数A和B趋近于零时，Riemann解收敛于无压强Euler方程的解。在一种修正的扰动方案下，形成了与标准delta冲击波不同的特殊delta冲击波，且在稀疏波极限中出现了真空态，该结论通过扰动系统的解析与数值分析得到验证。

ABSTRACT

This paper analyzes the vanishing pressure limit of solutions to the Aw-Rascle model and the perturbed Aw-Rascle model for modified Chaplygin gas. Firstly, the Riemann problem of the Aw-Rascle model is solved constructively. A special delta shock wave in the limit of Riemann solutions is obtained. Secondly, the Riemann problem of the perturbed Aw-Rascle model is solved analytically. It is proved that, as the pressure tends to zero, any Riemann solution containing two shock wave tends to a delta shock solution to the transport equations; any Riemann solution containing two rarefaction wave tends to a two-contact-discontinuity solution to the transport equations and the nonvacuum intermediate state in between tends to a vacuum state.

研究动机与目标

• 分析具有修正Chaplygin气体压强的Aw-Rascle模型在压强趋于零时的极限行为，其中压强定义为 $ P(\rho) = A\rho - \frac{B}{\rho^\alpha} $，且 $ 0 < \alpha \leq 1 $。
• 研究当 $ A, B \to 0 $ 时，delta冲击波与真空态的形成，特别是在输运方程的背景下。
• 构建一个扰动后的Aw-Rascle模型，使其在保持原系统结构的同时，能够收敛至已知的无压强Euler方程的解。
• 证明在扰动系统中，极限状态下的delta冲击波与标准无压强系统中的经典delta冲击波不同。

提出的方法

• 构造性求解具有修正Chaplygin气体压强 $ P(\rho) = A\rho - \frac{B}{\rho^\alpha} $ 的原始Aw-Rascle模型的Riemann问题。
• 引入具有修正通量项的扰动Aw-Rascle模型：$ \left(\rho\left(u + \frac{A}{2}\rho - \frac{1}{1-\alpha}\frac{B}{\rho^\alpha}\right)\right)_t + \left(\rho u\left(u + A\rho - \frac{B}{\rho^\alpha}\right)\right)_x = 0 $，适用于 $ 0 < \alpha < 1 $。
• 利用弱渐近方法与测度论收敛性分析 $ A, B \to 0 $ 时Riemann解的极限。
• 证明具有两个激波的解收敛至满足特殊 $ \delta $-熵条件的delta冲击波。
• 证明具有两个稀疏波的解收敛至中间区域含有真空态的双接触间断解。
• 通过 $ \delta $-测度的时间依赖权重追踪，推导出 $ \rho u $ 与 $ \rho $ 的极限形式，确认极限中出现 $ w_1(t)\delta_S $ 与 $ w_2(t)\delta_S $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当压强参数 $ A $ 与 $ B $ 趋近于零时，具有修正Chaplygin气体压强的Aw-Rascle模型的Riemann解如何演化？
• RQ2 极限解是否收敛至无压强Euler方程的经典delta冲击波，还是会出现一种新型delta冲击波？
• RQ3 当Riemann解包含两个稀疏波时，极限解的结构如何？中间区域是否形成真空态？
• RQ4 能否构造一个Aw-Rascle模型的扰动版本，使其解在压强趋于零时收敛至输运方程的解？
• RQ5 特殊 $ \delta $-熵条件在表征极限delta冲击波时起什么作用？

主要发现

• 当 $ A, B \to 0 $ 时，极限Riemann解中形成一种特殊的delta冲击波，其满足一种独特的 $ \delta $-熵条件，且与无压强系统的经典delta冲击波不等价。
• 对于包含两个激波的Riemann解，极限收敛至输运方程的delta冲击波解，其中 $ \delta $-测度的权重为 $ w_1(t) = \frac{t}{\sqrt{1+\sigma^2}}(\sigma[\rho u] - [\rho u^2]) $。
• 对于包含两个稀疏波的Riemann解，极限收敛至中间区域含有真空态的双接触间断解，其中非真空中间状态在 $ A, B \to 0 $ 时趋于消失。
• 具有包含 $ \frac{A}{2}\rho $ 与 $ \frac{1}{1-\alpha}\frac{B}{\rho^\alpha} $ 项的扰动Aw-Rascle模型，可确保解在极限下收敛至输运方程的解。
• 极限中 $ \delta $-测度的时间依赖权重为 $ w_2(t) = \frac{t}{\sqrt{1+\sigma^2}}(\sigma[\rho] - [\rho u]) $，证实了测度值解的结构。
• 数值模拟支持了分析结果，表明随着 $ A $ 与 $ B $ 减小至零，delta冲击波与真空态逐渐形成。