[论文解读] Vanishing relaxation time limit of the Jordan--Moore--Gibson--Thompson wave equation with Neumann and absorbing boundary conditions

Barbara Kaltenbacher, Vanja Nikolić|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 4

一句话总结

该论文为具有诺伊曼和吸收边界条件的乔丹-摩尔-吉布森-汤普森（JMGT）波动方程建立了局部适定性及能量估计，证明了当松弛时间 τ→0 时，解收敛于威斯特雷尔方程的解。该分析确保了与 τ 无关的统一能量界，从而实现了对奇异极限的严格推导。

ABSTRACT

We study the Jordan--Moore--Gibson--Thompson (JMGT) equation, a third order in time wave equation that models nonlinear sound propagation, in the practically relevant setting of Neumann and absorbing boundary conditions. In the analysis, we pay special attention to dependencies on the coefficient $\ au$ of the third order time derivative that plays the physical role of relaxation time. We establish local in time well-posedness and derive energy bounds that can be made independent of $\ au$ under appropriate conditions. This fact allows us to pass to the limit $\ au\ o0$ and recover solutions of a classical model in nonlinear acoustics, the Westervelt equation, as singular limits of solutions to the JMGT equation.

研究动机与目标

• 分析第三阶时间非线性波动方程——JMGT 方程，该方程用于建模非线性声波传播，边界条件为物理上合理的诺伊曼和吸收边界条件。
• 研究当松弛时间 τ→0 时解的行为，旨在将经典威斯特雷尔方程作为奇异极限恢复。
• 建立局部适定性并推导关于 τ 一致的能量估计，以确保极限过程的有效性。
• 将分析扩展至带有有界系数 h(ψ_t) 的 JMGT 方程的松弛版本，以保证更低正则性解的存在性。
• 在适当的函数空间中，以弱-* 拓扑证明解 (ψ^τ) 在 τ→0 时收敛于威斯特雷尔方程的解。

提出的方法

• 将 JMGT 方程表述为带有松弛时间 τ 的三阶偏微分方程，通过麦克斯韦-卡塔内奥定律而非傅里叶定律来建模非线性声学波传播。
• 在边界的一部分 Γ 上施加非齐次诺伊曼条件，在其余部分 Σ 上施加线性吸收条件，以模拟向外传播的波并避免反射。
• 应用能量方法，为解 ψ 及其时间导数推导先验估计，确保在小初值和边界数据假设下，得到与 τ 无关的统一有界性。
• 利用椭圆正则性理论处理时间导数 ψ_t，通过迹定理和索伯列夫嵌入定理控制边界数据，从而提升正则性。
• 引入 JMGT 方程的松弛版本，其中系数 h(ψ_t) 有界，以避免退化，并确保 H^1 正则解的存在性。
• 证明在空间 X̄^W 中，解 (ψ^τ) 沿 τ→0 弱-* 收敛，其极限为满足相同边界和初始条件的威斯特雷尔方程的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明在小初值和边界数据下，带有诺伊曼和吸收边界条件的 JMGT 方程在 τ 上一致地局部适定？
• RQ2 当 τ→0 时，JMGT 方程的能量估计是否仍保持一致，从而支持奇异极限的取法？
• RQ3 在数据具有适当正则性和小性假设下，JMGT 方程的解是否在 τ→0 时收敛于威斯特雷尔方程的解？
• RQ4 JMGT 方程中系数 h(ψ_t) 的松弛如何影响解的正则性和存在性，相较于原始形式？
• RQ5 当诺伊曼数据在 Γ 上不全局属于 H^{1/2} 时，该收敛结果是否仍能在合适的函数空间中以弱-* 拓扑建立？

主要发现

• 在小初值和边界数据下，JMGT 方程的局部适定性得以确立，解属于空间 W^{1,∞}(0,T;H^{3/2+s}(Ω)) ∩ W^{2,∞}(0,T;H^1(Ω)) ∩ H^3(0,T;L^2(Ω))，其中任意 s∈(0,1/2)。
• 推导出关于 τ 一致的能量估计，其界仅依赖于数据范数，而不依赖于 τ，从而支持 τ→0 的极限过程。
• 在数据小性条件下，解族 (ψ^τ) 在空间 X̄^W 中弱-* 收敛于威斯特雷尔方程的解。
• 该收敛性在 h(ψ_t) 有正下界（即远离零）的松弛 JMGT 方程中依然成立，确保非退化性并保证 H^1 正则解的存在。
• 证明了在 Γ 上的诺伊曼数据和在 Σ 上的吸收边界条件属于 H^s(∂Ω)，其中 s<1/2，从而可应用椭圆正则性理论。
• 极限过程保持了边界条件：在极限中，∂ψ/∂n = g 在 Γ 上成立，且 ∂ψ/∂n = -βψ_t 在 Σ 上成立，与威斯特雷尔模型一致。