[论文解读] Vanishing theorems for threefolds in characteristic $p>5$.

Fabio Bernasconi, Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文在特征 p > 5 的正特征下，为三维 dlt 对建立了类 Grauert-Riemenschneider 的消去定理，证明了在轻微奇点和完美剩余域条件下，某些线丛的高阶直接像消失。关键结果将消去性推广至特征 >5 的完美域上的优秀 dlt 三维流形，从而在正特征下为有理奇点和 Mori 纤维空间的应用提供了支持。

ABSTRACT

We prove Grauert-Riemenschneider-type vanishing theorems for excellent dlt threefolds pairs whose closed points have perfect residue fields of positive characteristic $p>5$. Then we discuss applications to dlt singularities and to Mori fiber spaces of threefolds.

研究动机与目标

• 在正特征 p > 5 下建立三维流形的消去定理，将经典的 Grauert-Riemenschneider 消去性推广至奇异情形。
• 证明在正特征 p > 5 下，对于具有完美剩余域的优秀 dlt 三维对，G-R 消去性成立。
• 应用消去结果，推导出在正特征与混合特征下 dlt 对的局部有理性与有理奇点性质。
• 研究在正特征下，维度为三的完美域上 Mori 纤维空间的可提升性与有理性。
• 通过使用 Yasuda 的 Cp-表示的不变量 DV 构造新的反例，揭示正特征下基具有非对数可极小奇点的 Mori 纤维空间。

提出的方法

• 对 dlt 三维对的解析进行对数解析，并在其上运行极小模型程序（MMP）。
• 通过归约至表面消去定理，证明 G-R 消去性在除子收缩与翻转下保持不变。
• 应用关于完美域上特征 p > 5 的 del Pezzo 型曲面的关键消去定理。
• 利用 S2-包与可微层技术分析奇异曲面上的对偶层与限制序列。
• 利用 klt 与 dlt 奇点在完美域上三维情形蕴含有理奇点的事实。
• 通过使用野生商奇点，结合 Yasuda 的 Cp-表示的不变量 DV 构造反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 Grauert-Riemenschneider 消去性是否在正特征 p > 5 的三维 dlt 对上成立？
• RQ2 在正特征下，Weil 除子的高阶直接像是否在适当的 nef 与大条件之下消失？
• RQ3 在特征 p ≥7 的完美域上，Mori 纤维空间的基是否具有有理奇点？
• RQ4 能否在正特征下构造出基空间为非对数可极小的三维 Mori 纤维空间？
• RQ5 在何种条件下，klt 对之间的双有理态射或收缩可提升至 Witt 向量？

主要发现

• 在特征 p > 5 的完美剩余域的优秀概形上，3 维 dlt 对 (X, ∆) 的 G-R 消去性成立。
• 假设 p > 5 是最优的，因为当 p ≤ 5 时存在反例。
• 对于 log Fano 收缩 f: X → Z，满足 −(KX + ∆) f-大且 f- nef，当特征 p ≥7 时，自然映射 OZ → Rf∗OX 是同构。
• 当 k 是特征 p ≥7 的完美域时，三维二次曲面丛 π: X → S 的基概形 S 具有有理奇点。
• 在特征 p ≥5 时，存在总空间为终端而基空间为非对数可极小的三维 Mori 纤维空间。
• 此类 Mori 纤维空间的基为超曲面奇点，而总空间非 Cohen-Macaulay，展示了正特征下的病态行为。