[论文解读] Vanishing Viscosity Limit of the Navier-Stokes Equations to the Euler Equations for Compressible Fluid Flow

Gui‐Qiang Chen, Mikhail Perepelitsa|ArXiv.org|Oct 13, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文建立了在一维可压缩流体流动中，具有真实物理粘性时，Navier-Stokes 方程到等熵 Euler 方程的消失粘性极限，通过发展一致能量估计并证明 $H^{-1}$ 中熵耗散测度的紧致性，克服了物理粘性带来的挑战。关键结果是当 $\gamma \geq 3$ 时，Navier-Stokes 解收敛于 Euler 方程的有限能量熵解，且通过简化约化技术将结果推广至 $1 < \gamma \leq 5/3$。

ABSTRACT

We establish the vanishing viscosity limit of the Navier-Stokes equations to the isentropic Euler equations for one-dimensional compressible fluid flow. For the Navier-Stokes equations, there exist no natural invariant regions for the equations with the real physical viscosity term so that the uniform sup-norm of solutions with respect to the physical viscosity coefficient may not be directly controllable and, furthermore, convex entropy-entropy flux pairs may not produce signed entropy dissipation measures. To overcome these difficulties, we first develop uniform energy-type estimates with respect to the viscosity coefficient for the solutions of the Navier-Stokes equations and establish the existence of measure-valued solutions of the isentropic Euler equations generated by the Navier-Stokes equations. Based on the uniform energy-type estimates and the features of the isentropic Euler equations, we establish that the entropy dissipation measures of the solutions of the Navier-Stokes equations for weak entropy-entropy flux pairs, generated by compactly supported $C^2$ test functions, are confined in a compact set in $H^{-1}$, which lead to the existence of measure-valued solutions that are confined by the Tartar-Murat commutator relation. A careful characterization of the unbounded support of the measure-valued solution confined by the commutator relation yields the reduction of the measure-valued solution to a Delta mass, which leads to the convergence of solutions of the Navier-Stokes equations to a finite-energy entropy solution of the isentropic Euler equations.

研究动机与目标

• 建立具有真实物理粘性的可压缩流体流动中，Navier-Stokes 方程到等熵 Euler 方程的消失粘性极限。
• 克服由于物理粘性导致 Navier-Stokes 方程中缺乏不变区域和带符号熵耗散的问题。
• 通过 Tartar-Murat 交换子关系证明测度值解的存在性，并将其约化为 Dirac 测度。
• 对一般初值，证明 Navier-Stokes 解收敛于 Euler 方程的有限能量熵解。
• 与先前工作相比，简化 $1 < \gamma \leq 5/3$ 情况下测度值解的约化证明。

提出的方法

• 为 Navier-Stokes 解建立关于粘性系数 $\varepsilon$ 的一致能量型估计。
• 建立由紧支紧 $C^2$ 测试函数生成的弱熵耗散测度在 $H^{-1}$ 中的紧致性。
• 利用 Tartar-Murat 交换子关系将可能具有无界支集的测度值解限制在有界区域内。
• 通过反证法刻画测度值解的无界支集，从而将其约化为相空间 $(\rho, m)$ 中的 Dirac 测度。
• 应用补偿紧致性与弱收敛技术，证明收敛于有限能量熵解。
• 通过改进熵耗散与测试函数行为的估计，简化 $1 < \gamma \leq 5/3$ 情况下的约化论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可压缩流中，对于具有真实物理粘性的 Navier-Stokes 方程，能否严格建立消失粘性极限？
• RQ2 当由于物理粘性导致不存在自然不变区域时，如何为 Navier-Stokes 解导出一致估计？
• RQ3 Navier-Stokes 解的熵耗散测度在何种条件下于 $H^{-1}$ 中保持紧致？
• RQ4 如何将由 Navier-Stokes 方程生成的测度值解在相空间 $(\rho, m)$ 中约化为 Dirac 测度？
• RQ5 在何种条件下，Navier-Stokes 解收敛于 $\gamma \geq 3$ 和 $1 < \gamma \leq 5/3$ 情况下 Euler 方程的有限能量熵解？

主要发现

• 作者为 Navier-Stokes 方程解建立了关于粘性系数 $\varepsilon$ 的一致能量估计。
• 弱熵-熵通量对的熵耗散测度在 $H^{-1}$ 中为预紧致，从而保证了测度值解的存在性。
• 测度值解受 Tartar-Murat 交换子关系约束，并在 $\gamma \geq 3$ 时被证明在相空间 $(\rho, m)$ 中约化为 Dirac 测度，意味着收敛于有限能量熵解。
• 对于 $1 < \gamma \leq 5/3$，与 LeFloch-Westdickenberg [20] 相比，约化证明被简化，提供了更直接的论证。
• 主定理确认，在一般初值条件下，Navier-Stokes 解的某个子列收敛于等熵 Euler 方程的有限能量熵解。
• 该结果将消失粘性极限扩展至具有有限能量初值的真实物理粘性情形，解决了可压缩流体力学中长期存在的难题。