[论文解读] Variable Martingale Hardy Spaces and Their Applications in Fourier Analysis

Yong Jiao, Ferenc Weisz+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 62被引用 9

一句话总结

本文在具有可数生成σ代数的概率空间上引入了变指数鞅哈代空间$H_{p(\bullet)}$和$H_{p(\bullet),q}$，在一种新型对数型条件（取代经典的对数霍尔德连续性）下建立了其原子分解。证明了最大费耶尔算子的有界性，并在$p_- > 1/2$且$rac{1}{p_-} - rac{1}{p_+} < 1$时，证明了沃尔什-傅里叶部分和在范数和一个几乎处处意义下的收敛性，将经典结果推广至变指数情形，引入了新颖的最大算子并采用新的证明方法。

ABSTRACT

Let $p(\cdot)$ be a measurable function defined on a probability space satisfying $01$. The boundedness of the maximal Fej{é}r operator on $H_{p(\cdot)}$ and $H_{p(\cdot),q}$ is proved whenever $p_-&gt;1/2$ and the condition $\frac{1}{p_-}-\frac{1}{p_+} &lt;1$ hold. It is surprising that this last condition does not appear for trigonometric Fourier series. One of the key points of the proof is that we introduce two new dyadic maximal operators and prove their boundedness on $L_{p(\cdot)}$ with $p_-&gt;1$. The method we use to prove these results is new even in the classical case. As a consequence, we obtain theorems about almost everywhere and norm convergence of the Fejér means.

研究动机与目标

• 在具有可数生成σ代数的概率空间上，发展变指数鞅哈代空间$H_{p(\bullet)}$和$H_{p(\bullet),q}$的理论。
• 在一种新的可积性条件（取代对数霍尔德连续性）下，建立这些空间的原子分解。
• 利用原子分解证明鞅不等式，并建立不同哈代空间类型之间的关系。
• 将结果应用于傅里叶分析，特别是沃尔什-傅里叶级数和费耶尔平均。
• 将经典的部分和与费耶尔平均的收敛定理推广至变指数情形。

提出的方法

• 引入新条件$\mathbb{P}(A)^{p_-(A)-p_+(A)} \leq C_{p(\cdot)}$对所有原子$A$成立，该条件推广了经典的对数霍尔德连续性条件。
• 当每个$\mathcal{F}_n$由可数个原子生成时，证明$H_{p(\bullet)}$和$H_{p(\bullet),q}$空间的原子分解。
• 定义并分析两个新的 dyadic 最大算子，并证明当$p_- > 1$时，它们在$L_{p(\bullet)}$上有界。
• 利用原子分解和最大算子的有界性，建立鞅不等式及不同哈代空间类型之间的关系。
• 通过证明当$p_- > 1$时，部分和$\sigma_n f$在$H_{p(\bullet),q}$中关于$L_{p(\bullet),q}$-范数收敛，将结果应用于沃尔什-傅里叶级数。
• 证明当$p_- > 1/2$且$rac{1}{p_-} - rac{1}{p_+} < 1$时，最大费耶尔算子在$H_{p(\bullet)}$和$H_{p(\bullet),q}$上有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种$p(\cdot)$条件下，可以定义并实现变指数鞅哈代空间$H_{p(\bullet)}$和$H_{p(\bullet),q}$的原子分解？
• RQ2 新条件$\mathbb{P}(A)^{p_-(A)-p_+(A)} \leq C_{p(\cdot)}$在变指数分析中如何推广或替代经典的对数霍尔德连续性？
• RQ3 沃尔什-傅里叶部分和$\sigma_n f$在$H_{p(\bullet),q}$中几乎处处和范数收敛的充要条件是什么？
• RQ4 在变指数鞅哈代空间设定中，最大费耶尔算子起什么作用？在何种条件下其有界？
• RQ5 新的 dyadic 最大算子能否用于证明变指数勒贝格空间与哈代空间中的有界性结果？

主要发现

• 在所有原子$A$上满足新条件$\mathbb{P}(A)^{p_-(A)-p_+(A)} \leq C_{p(\cdot)}$下，建立了$H_{p(\bullet)}$和$H_{p(\bullet),q}$的原子分解，取代了对数霍尔德连续性。
• 当$p_- > 1/2$且$rac{1}{p_-} - rac{1}{p_+} < 1$时，最大费耶尔算子在$H_{p(\bullet)}$和$H_{p(\bullet),q}$上有界。
• 若$f \in H_{p(\bullet),q}$且$p_- > 1$，则沃尔什-傅里叶级数的部分和$\sigma_n f$在$L_{p(\bullet),q}$-范数下收敛于$f$。
• 当$f \in H_{p(\bullet),q}$且$p_- > 1/2$时，$\sigma_n f$在$[0,1)$上几乎处处收敛。
• 当$f \in H_{p(\bullet),q}$且$p_- > 1/2$时，$\sigma_n f$在$L_{p(\bullet),q}$-范数下收敛于$f$。
• 新的 dyadic 最大算子在$p_- > 1$时在$L_{p(\bullet)}$上有界，该有界性是证明主要收敛结果的关键。