[论文解读] Variable Shift SDD: A More Succinct Sentential Decision Diagram

K. Nakamura, Shuhei Denzumi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Formal Methods in Verification参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出变量移位SDD（VS-SDD），一种更简洁的命题决策图（SDD）变体，通过共享在特定变量替换下等价的布尔函数子结构来利用变量对称性。VS-SDD通过使用ID差值而非绝对ID来编码变量依赖关系，在对称布尔函数上实现了相较于SDD的指数级压缩，同时保持了Apply等核心操作的多项式时间支持。

ABSTRACT

The Sentential Decision Diagram (SDD) is a tractable representation of Boolean functions that subsumes the famous Ordered Binary Decision Diagram (OBDD) as a strict subset. SDDs are attracting much attention because they are more succinct than OBDDs, as well as having canonical forms and supporting many useful queries and transformations such as model counting and Apply operation. In this paper, we propose a more succinct variant of SDD named Variable Shift SDD (VS-SDD). The key idea is to create a unique representation for Boolean functions that are equivalent under a specific variable substitution. We show that VS-SDDs are never larger than SDDs and there are cases in which the size of a VS-SDD is exponentially smaller than that of an SDD. Moreover, despite such succinctness, we show that numerous basic operations that are supported in polytime with SDD are also supported in polytime with VS-SDD. Experiments confirm that VS-SDDs are significantly more succinct than SDDs when applied to classical planning instances, where inherent symmetry exists.

研究动机与目标

• 解决SDD在高效表示对称布尔函数方面的局限性。
• 探究变量替换等价性是否能够实现比标准SDD更简洁的表示。
• 在新表示中保持Apply和模型计数等基本操作的多项式时间支持。
• 通过实证验证，对称性利用是否能在现实世界的规划与组合问题中带来显著的大小压缩。

提出的方法

• 提出一种新型SDD变体VS-SDD，使用相对ID差值表示变量依赖关系，而非绝对ID。
• 定义布尔函数之间的一种等价关系，即在特定变量替换（如时间步长之间的变量互换）下保持同构的函数。
• 扩展SDD的规范结构，允许共享功能等价但语法不完全相同的子图。
• 修改基于vtree的编译过程，在构造阶段检测并利用替换等价的子函数。
• 通过扩展标准SDD的Apply算法以处理变量移位等价性，保持Apply操作的多项式时间复杂度。
• 通过引入对称性感知的节点共享机制，实现动态vtree搜索，提升压缩效率，且无性能开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在决策图中共享在变量替换下等价的布尔函数，以实现比标准SDD更简洁的表示？
• RQ2 所提出的VS-SDD表示是否保持了SDD中已知的Apply和模型计数等操作的多项式时间支持？
• RQ3 是否存在特定类型的布尔函数——尤其是具有内在对称性的函数——使得VS-SDD相比SDD实现指数级的大小压缩？
• RQ4 VS-SDD在具有时间或结构对称性的现实世界规划与组合问题中，压缩能力能达到何种程度？

主要发现

• VS-SDD的大小永远不会超过其对应的SDD，且在某些情况下，其大小呈指数级缩小。
• 在经典规划实例中，VS-SDD将SDD大小减少了60%至80%，压缩比最低达60.0%（bomb-5-1_t3）和61.0%（emptyroom-4_t5）。
• 在N-皇后问题中，压缩比达到88.5%（10-Queens）和94.3%（11-Queens），充分体现了对称性利用的优势。
• 在网格匹配问题中，压缩效果较为温和（94.5%至98.8%），原因在于质数和子结构中存在不对称性。
• Apply操作及其他SDD支持的多项式时间操作，在VS-SDD中同样可实现多项式时间复杂度。
• 实验结果证实，VS-SDD在对称领域中实现了显著的大小压缩，且无性能损失。