[论文解读] Variance of sums in arithmetic progressions of arithmetic functions associated with higher degree $L$-functions in $\mathbb{F}_q[t]$

Chris Hall, Jonathan P. Keating+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 23被引用 3

一句话总结

本论文在 $ q \to \infty $ 时，利用 Frobenius 共轭类的等分布性并计算相应的矩阵积分，计算了 $ \mathbb{F}_q[t] $ 上高阶 $ L $-函数相关算术函数在等差数列中的方差。关键结果表明，这些方差与一阶 $ L $-函数情形存在显著差异，并且与数域情形下广义对相关猜想所预测的表达式一致。

ABSTRACT

We compute the variances of sums in arithmetic progressions of arithmetic functions associated with certain $L$-functions of degree two and higher in $\mathbb{F}_q[t]$, in the limit as $q o\infty$. This is achieved by establishing appropriate equidistribution results for the associated Frobenius conjugacy classes. The variances are thus related to matrix integrals, which may be evaluated. Our results differ significantly from those that hold in the case of degree-one $L$-functions (i.e. situations considered previously using this approach). They correspond to expressions found recently in the number field setting assuming a generalization of the pair-correlation conjecture. Our calculations apply, for example, to elliptic curves defined over $\mathbb{F}_q[t]$.

研究动机与目标

• 计算 $ \mathbb{F}_q[t] $ 上与高阶 $ L $-函数相关的算术函数在等差数列中的方差。
• 建立与这些 $ L $-函数相关的 Frobenius 共轭类的等分布结果。
• 在 $ q \to \infty $ 极限下，计算控制方差的相应矩阵积分。
• 将结果与数域情形下的已知猜想进行比较，特别是广义对相关预测。
• 将算术和的波动理解从一阶 $ L $-函数情形扩展至更高阶情形，与 $ \mathbb{F}_q[t] $ 上椭圆曲线相关。

提出的方法

• 在函数域设定下使用 Frobenius 共轭类等分布定理，以建模算术函数的统计行为。
• 应用 Tannakian 形式化和单连通群理论，分析与 $ L $-函数相关的层的几何与算术结构。
• 在 $ \mathbb{G}_m $ 上的层的 Tannakian 群 $ G_{\omega_{\mathbf{1}}|M} $ 中识别几何 Frobenius 共轭类。
• 计算由单连通群导出的矩阵积分，以确定等差数列中和的渐近方差。
• 利用 Mellin 变换与中间扩张层，将 $ L $-函数算术与伽罗瓦表示及 Frobenius 跟踪联系起来。
• 利用 $ \ell $-进上同调框架，分析层表示的混合权重结构及其 Frobenius 特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ q \to \infty $ 时，$ \mathbb{F}_q[t] $ 上高阶 $ L $-函数相关算术函数在等差数列中的方差行为如何？
• RQ2 Frobenius 共轭类等分布在此类方差中起什么作用？
• RQ3 在广义对相关猜想下，这些结果中的矩阵积分与数域情形下的矩阵积分相比如何？
• RQ4 二阶及更高阶 $ L $-函数的方差与一阶情形的方差在哪些方面不同？
• RQ5 在 $ \mathbb{F}_q[t] $ 上的结果在多大程度上与黎曼 zeta 函数及其 $ L $-函数类比的已知猜想相吻合或加以拓展？

主要发现

• 高阶 $ L $-函数在 $ \mathbb{F}_q[t] $ 上的等差数列中和的方差，渐近由相关层的单连通群导出的矩阵积分所控制。
• 所得方差表达式与一阶 $ L $-函数情形存在显著差异，后者对应于短区间中的经典质数定理。
• 计算出的方差与数域情形下广义对相关猜想的预测一致，尤其在 $ \log X \leq h \leq X^{1/2} $ 范围内。
• 该方法成功应用于 $ \mathbb{F}_q[t] $ 上椭圆曲线相关的算术函数，提供了 Goldston-Montgomery 方差猜想在函数域中的类比。
• 证明了与 $ L $-函数相关的 Frobenius 共轭类在 Tannakian 群中等分布，从而可通过不变量理论计算统计矩。
• 结果在 $ q \to \infty $ 极限下成立，方差渐近表达式以 $ X $、$ c $ 以及 $ \phi(c) $ 和 $ \sum_{p|c} \frac{\log p}{p-1} $ 等算术不变量表示。