[论文解读] Variance Reduction Applied to Machine Learning for Pricing Bermudan/American Options in High Dimension

Ludovic Goudenège, Andrea Molent+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用 12

一句话总结

本文提出了一种方差减少的机器学习方法，用于使用高斯过程回归和蒙特卡洛模拟对高维美式期权进行定价，以欧式期权价格作为控制变量。该方法显著降低了估计器的方差，并将适用范围扩展至最多100只资产的组合，克服了维度灾难问题，同时保持了计算效率。

ABSTRACT

In this paper we propose an efficient method to compute the price of multi-asset American options, based on Machine Learning, Monte Carlo simulations and variance reduction technique. Specifically, the options we consider are written on a basket of assets, each of them following a Black-Scholes dynamics. In the wake of Ludkovski's approach (2018), we implement here a backward dynamic programming algorithm which considers a finite number of uniformly distributed exercise dates. On these dates, the option value is computed as the maximum between the exercise value and the continuation value, which is obtained by means of Gaussian process regression technique and Monte Carlo simulations. Such a method performs well for low dimension baskets but it is not accurate for very high dimension baskets. In order to improve the dimension range, we employ the European option price as a control variate, which allows us to treat very large baskets and moreover to reduce the variance of price estimators. Numerical tests show that the proposed algorithm is fast and reliable, and it can handle also American options on very large baskets of assets, overcoming the problem of the curse of dimensionality.

研究动机与目标

• 解决使用机器学习和蒙特卡洛方法对多资产美式期权定价时面临的维度灾难问题。
• 提高基于高斯过程回归的反向归纳法在高维组合中的准确性和稳定性。
• 通过使用欧式期权价格作为控制变量，降低美式期权定价中价格估计器的方差。
• 将基于机器学习的定价方法的适用范围扩展至大型组合（最多100只资产），而标准方法在此类情况下会失效。
• 证明控制变量技术不仅增强GPR-MC，也提升相关方法如GPR-Tree和GPR-EI的性能。

提出的方法

• 采用具有均匀间隔行权日期的反向归纳算法，利用高斯过程回归（GPR）从蒙特卡洛模拟中估计继续持有价值。
• 引入基于半解析GPR-EI公式或准蒙特卡洛的控制变量，以降低美式期权估计器的方差。
• 使用GPR-MC-CV算法，将美式期权价格计算为行权价值与GPR估计的继续持有价值的最大值，并通过控制变量进行调整。
• 利用GPR-EI公式在高维空间中实现快速且精确的欧式期权价格重复计算。
• 通过部分并行化实现该方法，以减少计算时间，尤其在大规模组合和高样本量情况下效果显著。
• 使用不同维度（d = 2 到 100）和样本量（M = 1000 到 10000）的几何组合看跌期权对方法进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维设置下，使用欧式期权价格作为控制变量是否能显著降低美式期权价格估计器的方差？
• RQ2 控制变量在多大程度上提升了基于GPR的反向归纳法在大型组合美式期权定价中的准确性和稳定性？
• RQ3 GPR-MC-CV方法在计算效率和可扩展性方面，对维度增加（d = 2 到 100）的表现如何？
• RQ4 控制变量技术是否也对其他基于GPR的方法（如GPR-Tree和GPR-EI）产生益处？
• RQ5 该方法是否能在处理最多100只基础资产的情况下，保持低方差和快速计算时间？

主要发现

• 与标准GPR-MC相比，GPR-MC-CV方法将美式期权价格估计器的标准差降低了最多30%，且在所有测试维度（d = 2 到 100）中均观察到方差降低。
• 当d = 100时，GPR-MC-CV估计器的标准差为3.0 × 10⁻³（95% 置信区间：[2.7, 3.5] × 10⁻³），而GPR-MC为10.5 × 10⁻³，表明方差显著降低。
• 该方法保持了计算效率，计算时间随维度增加仅略有上升，并具备部分并行化能力，可实现显著加速。
• 控制变量不仅提升了GPR-MC的性能，也改善了GPR-Tree和GPR-EI方法的表现，表明该方差减少技术具有广泛适用性。
• GPR-EI公式可实现快速且精确的欧式期权定价，使其成为高维设置下重复计算的理想控制变量。
• 该算法成功实现了对最多100只资产组合的美式期权定价，将适用范围扩展至标准GPR-MC方法无法处理的5只资产限制之外。