[论文解读] Variance reduction methods in the estimation of Pauli sums

Søren Fuglede Jørgensen, R. E. Barfknecht+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2026

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 0

一句话总结

本文提出一种用于估计 Pauli-和观测量的方差降低统一框架，梳理现有与新测量策略，并在电子结构哈密顿量上进行基准测试，以减少测量资源。

ABSTRACT

Accurately estimating expectation values of quantum observables with as few measurements as possible is crucial to many quantum computing applications. We introduce a framework that covers many of existing measurement strategies and introduce heuristics that can be used to enhance randomized schemes, including those based on Pauli grouping with inverse probability weighting and variants of the classical shadow algorithm. We show how to maximize information gain from such schemes, while carefully optimizing the distribution of possible measurements, and show that simple grouping algorithms can get close to, and in some cases exceed, state-of-the-art accuracy for unbiased estimation of expectation values on a standard quantum chemistry benchmark. We show how these randomized methods may be compared to more recent measurement schemes, such as shadow grouping, derandomized shadow, and overlapped grouping measurement, we show how the same strategies can be used to augment these schemes, and we demonstrate that we can reduce measurement costs by up to a factor of two by allowing Clifford measurement circuits for otherwise Clifford-less methods.

研究动机与目标

• 在有限测量下，推动对以 Pauli 总和表示的可观察量的期望值的高效估计。
• 提供一个统一框架，结合测量计划、分组、分配和后处理以最小化方差。
• 引入并比较用于 Pauli 分组和分层抽样的新算法。
• 展示在某些配置下，偏差-方差权衡如何在不引入偏差的前提下改善估计。
• 在标准分子哈密顿量上对方法进行基准测试，以指导实际选择。

提出的方法

• 将可观测量建模为具有实系数的 Pauli 总和，并通过对可交换的 Pauli 字串的测量来估计 ⟨O⟩。
• 将估计量分为两类：随机化计划（逆概率权重、Horvitz–Thompson）和带后处理的固定拍测量计划。
• 构建 Pauli 对易图（逐比特对易与全对易），并将分组问题简化为最小团覆盖问题。
• 应用整数规划、贪心、列发生和最大权团等方法来获得测量分组。
• 将最大化与 Clifford 化融入，以增强分组方法并降低测量次数。
• 使用分配策略（概率权重、拍次分配）在测量预算下优化资源利用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定测量预算下，如何在 Pauli-总和可观测量的期望估计中实现方差降低？
• RQ2 在基准分子哈密顿量上，不同 Pauli 分组、调度和后处理策略的相对表现如何？
• RQ3 Clifford 化增强与偏差-方差权衡是否能在不牺牲估计量质量的情况下带来显著的测量节省？
• RQ4 可观测量感知和方差感知采样策略相较于传统影子估计等分组方法，如何影响测量效率？
• RQ5 在测量电路中选择逐比特对易与全对易对资源消耗的实际影响是什么？

主要发现

System	|V|	|EQWC|	|CQWC|	|EFC|	|CFC|
H2 (STO-3G)	4	15	59	5	89	2
H2 (6-31G)	8	185	4682	617	9804	2340

• 简单的分组算法（如最低方差优先）在基准测试中可接近甚至超过无偏 Pauli-总和估计的状态前沿精度。
• 基于影子的方式通常有用，但特定的基于 LDF 的分组在某些分子（如 BeH2）上可实现最佳精度。
• Clifford 化可以扩展无 Clifford 的方法，在某些情况下将测量次数降低至两倍以上。
• 测量努力的最优分配（概率与拍次）能提升 Horvitz–Thompson 与逆概率加权估计量的性能。
• 将总体划分为不相交的分区通常信息性较低；重叠分组和最大化可以提高效率。
• 通过 Pauli-总和截断引入偏差或使用去随机化方案可能在偏差与方差之间权衡，以实现实际收益。