[论文解读] Variants of the symmetry-based indicator

Ken Shiozaki|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Topological Materials and Phenomena参考文献 27被引用 17

一句话总结

该论文将基于对称性的指标（SI）框架推广至两类新的拓扑材料：超导体和具有能隙边界态的体系。通过在Bogoliubov-de Gennes形式下重新定义原子绝缘体和 trivial 真空，并引入局域于原胞边界处的原子绝缘体的商群，作者推导出新的SI，用于检测具有无能隙边界模式（如角态、棱边态或表面态）的拓扑超导相和高阶拓扑绝缘体，从而将原始SI的适用范围从传统能带绝缘体扩展至更广泛的体系。

ABSTRACT

The symmetry-based indicator [H. C. Po, A. Vishwanath, H. Watanabe, Nat. Commun. 8, 50 (2017)] is a practical tool to diagnose topological materials in the band theory. In this note, we present two directions to generalize the symmetry-based indicator for other classes of topological materials. The one is for superconductors. The careful definition of the atomic insulators and the trivial vacuum Hamiltonian yields the symmetry-based indicators specific to superconductors. The other is for ingap boundary states. The quotient of the group of atomic insulators by a subset of atomic insulators such as those localized at the interior of the unit cell gives us the symmetry-based indicator for detecting ingap corner, hinge, and surface states.

研究动机与目标

• 将基于对称性的指标（SI）框架从电子能带绝缘体推广至具有粒子--hole对称性的超导态。
• 发展一种系统性方法，用于检测受晶格对称性保护的拓扑相，这些相具有无能隙边界模式，如角态、棱边态或表面态。
• 通过原子绝缘体的商群构造广义SI，其中子群对应于局域在原胞内部的绝缘体，以分离出非平凡的边界模式。
• 为具有非平凡实空间拓扑的体系（特别是高阶拓扑绝缘体和超导体）提供SI的数学基础。
• 实现对具有复杂对称性空间群（包括磁空间群和超导哈密顿量）的材料中拓扑相的实用诊断。

提出的方法

• 在Bogoliubov-de Gennes（BdG）形式下定义一类新的原子绝缘体和 trivial 真空，以构建适用于超导态的SI。
• 使用商群 $ E_{1}^{0,0}/X $，其中 $ X $ 是局域于原胞内部的原子绝缘体子群，来定义对能隙边界态敏感的SI。
• 对表示拓扑不变量和原子绝缘体的阿贝尔群之间的同态应用史密斯标准型分解，以计算SI的分类。
• 利用Atiyah-Hirzebruch谱序列框架，组织布里渊区中不同胞复形上拓扑不变量的层级结构。
• 引入记号 $ u^{(p)}_i $ 表示 $ p $ 阶拓扑不变量，$ u^{(p)}_i $ 表示 $ (p-1) $ 维的能隙边界态，以实现系统的分类。
• 将SI构作于商群 $ \text{Ker}(f)/i_A(\text{Ker}\tilde{\rho}_A) $ 的元素，通过迭代应用史密斯分解矩阵编码的对称性约束而导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将基于对称性的指标推广至检测具有粒子- hole 对称性的拓扑超导相？
• RQ2 在BdG形式下，应如何定义原子绝缘体和 trivial 真空，以实现对超导体的一致拓扑分类？
• RQ3 如何构造SI以检测具有无能隙角态、棱边态或表面态的高阶拓扑相？
• RQ4 原胞的选择在能隙边界态出现过程中起什么作用？这一影响如何在基于对称性的指标中被捕捉？
• RQ5 原子绝缘体的商群（相对于局域于原胞内部的绝缘体）是否能产生对高阶拓扑具有鲁棒性的指标？

主要发现

• 通过在BdG哈密顿量框架下重新定义平凡真空和原子绝缘体，推导出适用于超导体系的一类新SI。
• 能隙边界态的指标源于原子绝缘体群对局域于原胞内部的绝缘体子群的商群，从而隔离出局域于边界处的拓扑。
• 该方法可通过 $ \nu^{(p)}_i $ 不变量检测 $ p $ 阶拓扑绝缘体和超导体，这些不变量对角态、棱边态或表面态敏感。
• SI的数学结构通过阿贝尔群之间同态及其核的正式化表达，通过史密斯标准型分解实现显式计算。
• 该框架可通过附录A中的算法，对具有磁空间群对称性的体系（包括 $ E_1^{0,0} $ 中存在挠元的情形）实现拓扑不变量的分类。
• 该方法为超导体和高阶拓扑相的SI计算提供了一条系统化、算法化的路径，具有在高通量材料筛选中应用的潜力。