[论文解读] Variants on the minimum rank problem: A survey II

Shaun Fallat, Leslie Hogben|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 53被引用 33

一句话总结

本文综述了图的最小秩问题变体的最新进展，重点关注半正定最小秩、零 forcing 参数，以及符号模式和有向图的最小秩。文章提供了更新的结果、界限以及与量子控制和通信复杂性的联系，主要贡献包括对斜对称最小秩的表征，以及对 Haemers 数和惯性平衡图的新界限。

ABSTRACT

The minimum rank problem for a (simple) graph $G$ is to determine the smallest possible rank over all real symmetric matrices whose $ij$th entry (for $i eq j$) is nonzero whenever $\{i,j\}$ is an edge in $G$ and is zero otherwise. This paper surveys the many developments on the (standard) minimum rank problem and its variants since the survey paper \cite{FH}. In particular, positive semidefinite minimum rank, zero forcing parameters, and minimum rank problems for patterns are discussed.

研究动机与目标

• 更新并扩展图的最小秩问题的基础综述，整合过去十年的发展。
• 研究最小秩问题的变体，包括半正定最小秩、零 forcing 参数，以及符号模式和有向图的最小秩。
• 探索与最小秩相关参数在量子控制和通信复杂性中的应用联系。
• 解决开放问题，如逆惯性问题和图的最小斜秩。
• 提供更新的界限和表征，包括对 Haemers 数和惯性平衡图的分析。

提出的方法

• 使用标准最小秩框架：最小化与图的边匹配零-非零模式的实对称矩阵的秩。
• 通过 𝒮(G) 中的半正定矩阵集合引入并分析半正定最小秩，其界限与团覆盖及顶点团覆盖数相关。
• 将零 forcing 参数作为组合工具用于界定最大零度，包括非对称零 forcing 和斜零 forcing 等变体。
• 将 Haemers 数用作最小秩的上界，其来源于矩阵团覆盖，与顶点团覆盖数相关。
• 通过确定可能的特征值符号模式分析逆惯性问题，使用割点约化方法，并给出树和小图的结果。
• 研究斜对称矩阵的最小斜秩，证明 mr₋(G) = 2 当且仅当 G 是完全多部图，且 MR₋(G) = 2·match(G)。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的最小秩问题的标准版本中，最新的发展和开放问题是什么？
• RQ2 零 forcing 参数及其变体如何与最大零度和最小秩相关？
• RQ3 半正定最小秩的界限和表征是什么，特别是与团覆盖的关系如何？
• RQ4 Haemers 数与图的最小秩之间有何关系？
• RQ5 哪些图是惯性平衡的，这对逆惯性问题有何影响？

主要发现

• Haemers 数为图的最小秩提供了上界，且其上界不超过顶点团覆盖数。
• 对于连通图 G，η(G) ≤ mr₊^ℂ(G)，且顶点团覆盖数提供的界限比边团覆盖数更紧。
• 逆惯性问题在树和阶数不超过 6 的图中已解决，并提供了割点约化公式。
• 若图能通过其最小秩矩阵实现特征值计数差异不超过 1，则称为惯性平衡图；并非所有图都是惯性平衡的。
• 对于斜对称矩阵，mr₋(G) = 2 当且仅当 G 是完全多部图，且 MR₋(G) = 2·match(G)。
• 所有介于 mr₋(G) 和 MR₋(G) 之间的偶数秩均可由斜对称矩阵实现，且 mr₋(G) = |G| 当且仅当 G 有唯一完美匹配。