[论文解读] Variation Evolving for Optimal Control Computation, a Compact Way

Sheng Zhang, Jiang-Tao Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文提出了一种在原始变量空间中进行最优控制计算的紧凑型变分演化方法（VEM），利用李雅普诺夫稳定性理论和一个虚拟变分时间，推导出一个演化偏微分方程（EPDE），该方程渐近收敛至最优解。该方法在不使用协态变量的情况下建立了等价的最优性条件，从而可通过对所得初值问题进行半离散化实现数值求解。

ABSTRACT

A compact version of the variation evolving method (VEM) is developed in the primal variable space for optimal control computation. Following the idea that originates from the Lyapunov continuous-time dynamics stability theory in the control field, the optimal solution is analogized to the stable equilibrium point of a dynamic system and obtained asymptotically through the variation motion. With the introduction of a virtual dimension, namely the variation time, the evolution partial differential equation (EPDE), which seeks the optimal solution with a theoretical guarantee, is developed for the optimal control problem (OCP) with free terminal states, and the equivalent optimality conditions with no employment of costates are established in the primal space. These conditions show that the optimal feedback control law is generally not analytically available because the optimal control is related to the future states. Since the derived EPDE is suitable to be computed with the semi-discrete method in the field of PDE numerical calculation, the optimal solution may be obtained by solving the resulting finite-dimensional initial-value problem (IVP).

研究动机与目标

• 开发一种紧凑的、基于原始空间的变分演化方法（VEM）用于最优控制问题的计算。
• 通过直接在原始空间中推导最优性条件，消除对协态变量的需求。
• 基于李雅普诺夫稳定性概念，为收敛至最优解提供理论基础。
• 通过EPDE的半离散化实现数值计算，将其转化为初值问题（IVP）。

提出的方法

• 引入一个称为‘变分时间’的虚拟维度，用于建模变分向最优性的演化过程。
• 推导出一个控制变分动态演化的演化偏微分方程（EPDE）。
• 基于李雅普诺夫稳定性理论，在原始空间中建立不依赖协态变量的等价最优性条件。
• 对EPDE应用半离散数值方法，将其转化为有限维初值问题（IVP）。
• 利用动态系统的渐近稳定性，保证收敛至最优解。
• 在具有自由终端状态的最优控制问题上验证该方法，确保理论上的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖协态变量的前提下，为最优控制计算开发一种紧凑的、基于原始空间的VEM公式？
• RQ2 如何利用李雅普诺夫稳定性理论，确保在变分空间中渐近收敛至最优解？
• RQ3 在具有自由终端状态的最优控制问题中，控制变分动态演化的演化PDE（EPDE）具有何种结构？
• RQ4 如何高效地对EPDE进行离散化并作为初值问题进行数值求解？
• RQ5 在原始空间中，不显式传播协态变量的理论最优性条件是什么？

主要发现

• 所提出的EPDE通过将变分动态建模为变分时间中的稳定系统，确保了对最优解的渐近收敛。
• 最优性条件直接在原始空间中推导，无需引入协态变量，从而简化了计算框架。
• 该方法保证收敛至最优控制律，而该控制律通常因依赖未来状态而无法解析求解。
• EPDE的半离散化产生一个可使用标准常微分方程求解器进行数值求解的有限维初值问题（IVP）。
• 该方法适用于具有自由终端状态的最优控制问题，扩展了其在广泛问题类别中的适用性。
• 通过采用成熟的PDE与ODE数值技术，该方法在理论上表现出鲁棒性，并具备计算可行性。