[论文解读] Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization

Geir Ellingsrud, Lothar Göttsche|ArXiv.org|Oct 7, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 19

一句话总结

本文研究了代数曲面上秩2无挠层模空间在极化改变下的变化，表明墙穿跃导致沿点的希尔伯特纲量积上投影丛的一系列光滑爆破与反爆破。关键贡献在于对满足 p_g = q = 0 的曲面，显式计算了唐纳森不变量的变化，以希尔伯特纲量上的上同调类表示，确认了科茨奇克与摩根对最低六项的猜想，其中三项为零。

ABSTRACT

The paper determines the change of moduli spaces of rank $2$ sheaves on surfaces with $p_g=0$ under change of polarization and the corresponding change of the Donaldson invariants. In this revised version we have made some minor stylistic changes in the previous text. In addition we have added a final chapter of about 20 pages (announced in the previous version), in which the six lowest order terms (three of them non-zero) of the change are computed explicitely using computations in the cohomology of Hilbert schemes of points.

研究动机与目标

• 理解当极化穿过曲面ample锥中的墙时，秩2层模空间如何变化。
• 描述穿过‘良好’墙时模空间的几何变换，作为一系列光滑爆破与反爆破。
• 计算 p_g = q = 0 的曲面在极化变化下唐纳森不变量的变化。
• 验证科茨奇克与摩根关于唐纳森不变量变化结构的猜想，特别是最低阶三项中三项为零的预测。

提出的方法

• 使用普遍层的初等变换，将墙穿跃描述为类似于莫里极小模型程序的翻转序列。
• 将模空间的变化建模为沿曲面上点的希尔伯特纲量积上投影丛的光滑爆破。
• 在点的希尔伯特纲量上应用上同调计算，以自然类表示唐纳森不变量的变化。
• 运用对称积上同调与等变积分技术，计算 S^d 上的交点数。
• 通过递推公式与对称函数，推导出唐纳森不变量变化的多项式表达式，模去某些单项式。
• 通过显式计算最低六项，验证其与科茨奇克-摩根猜想的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当极化 H 穿越曲面 S 的 ample 锥中的墙时，模空间 M_H(c1,c2) 如何变化？
• RQ2 跨墙的模空间之间的几何变换本质为何？是否可通过爆破与反爆破来描述？
• RQ3 在极化变化下，唐纳森不变量如何变化？对于满足 p_g = q = 0 的曲面，该变化能否显式计算？
• RQ4 唐纳森不变量变化的最低六项是否与科茨奇克与摩根的猜想一致，特别是其中三项为零的预测？
• RQ5 该不变量的变化能否完全用 S 上点的希尔伯特纲量的上同调类表示？

主要发现

• 墙穿跃对模空间的变换被实现为沿点的希尔伯特纲量积上投影丛的一系列光滑爆破，随后是光滑反爆破。
• 对于 K3 或阿贝尔曲面，该变化是辛流形的初等变换，保持辛结构。
• 唐纳森不变量的变化被显式计算为 S 上点的希尔伯特纲量上自然上同调类的函数。
• 已计算出唐纳森不变量变化的最低六项，其中三项为零，确认了科茨奇克-摩根猜想。
• 结果与猜想的公式一致，特别是多项式中 2、4、6 次项为零的预测。
• 计算依赖于对称积上同调与 S^d 上的交点理论，关键恒等式通过等变积分与对称函数恒等式导出。