[论文解读] Variation of Periods Modulo p in Arithmetic Dynamics

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 24

一句话总结

该论文证明了对于在数域上的拟射影簇上关于自同态 $ \varphi $ 具有无限轨道的点 $ P $，其模大多数素理想 $ \mathfrak{p} $ 的轨道大小增长快于任意幂次 $ (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $。通过高度估计与解析密度论证，证明了对几乎所有素理想，此类轨道大小几乎达到 $ \log p $，显著优于平凡下界。

ABSTRACT

Let F : V --> V be a self-morphism of a quasiprojective variety defined over a number field K and let P be a point in V(K) with infinite orbit under iteration of F. For each prime ideal p of good reduction, let m_p(F,P) be the size of the F-orbit of the reduction of P modulo p. Fix any e > 0. We show that for almost all primes p, in the sense of analytic density, the orbit size m_p(F,P) is larger than (log(N(p)))^(1-e), where N(p) is the norm of the ideal p.

研究动机与目标

• 理解在拟射影簇上关于自同态的点 $ P $，其正向轨道无限时，模素理想轨道大小的分布规律。
• 利用解析密度方法，改进 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $（即模 $ \mathfrak{p} $ 的 $ \varphi $-轨道大小）的平凡下界。
• 建立对几乎所有素理想 $ \mathfrak{p} $，有 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) > (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $ 的结论，该结果相比以往结果呈指数级提升。
• 为模 $ p $ 乘法阶结果提供动力系统类比，并将其推广至一般算术动力系统。
• 基于数值实验，提出猜想：轨道大小增长速度可达 $ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} $，与随机映射行为一致。

提出的方法

• 利用有理映射的高度估计（命题 4）来界定模 $ \mathfrak{p} $ 的轨道大小，将其与点 $ P $ 的算术性质联系起来。
• 应用算术距离的高度估计（命题 6），以素理想范数 $ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ 的形式控制轨道大小的增长。
• 建立关键等价关系：$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \leq m $ 当且仅当 $ \mathfrak{p} \mid D(m) $，其中 $ D(m) $ 是满足 $ \log\log D(m) \ll m $ 的整数。
• 导出一个解析不等式（定理 11）：对所有 $ s > 0 $，有 $ \sum_{\mathfrak{p}} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \cdot e^{s m_{\mathfrak{p}}^{\lambda}}} \leq \frac{C}{s^{1/\lambda}} $，用于控制小轨道大小的密度。
• 使用解析密度 $ \boldsymbol{\delta} $ 量化轨道大小较大的素理想所占比例，证明当 $ \gamma < 1 $ 时，满足 $ m_{\mathfrak{p}} \geq (\log p)^\gamma $ 的素理想具有密度 1。
• 通过在二次多项式 $ \varphi_c(z) = z^2 + c $ 上进行数值实验，检验关于 $ m_{\mathfrak{p}} \approx \sqrt{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}} $ 的猜想，观察到其增长略慢于 $ \sqrt{p} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有无限 $ \varphi $-轨道的点 $ P $，模素理想 $ \mathfrak{p} $ 的轨道大小 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ 究竟多大？
• RQ2 我们能否证明对几乎所有素理想 $ \mathfrak{p} $，有 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) > (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $？
• RQ3 满足 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \epsilon \log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ 的素理想集合的解析密度是否下界为 $ 1 - C\epsilon $？
• RQ4 模 $ \mathfrak{p} $ 的轨道大小是否如随机映射所预期的那样，以 $ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} $ 的速度增长？
• RQ5 我们能否量化观测到的轨道大小与随机映射启发式 $ \sim \sqrt{\#\mathbb{P}^N(\mathbb{F}_{\mathfrak{p}})} $ 之间的偏差？

主要发现

• 对任意 $ \gamma < 1 $，满足 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^\gamma $ 的素理想集合具有解析密度 1。
• 对任意 $ \epsilon > 0 $，满足 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \epsilon \log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ 的素理想集合的下解析密度至少为 $ 1 - C\epsilon $，其中常数 $ C $ 依赖于 $ N, \varphi, P $。
• 轨道大小满足 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \leq m $ 当且仅当 $ \mathfrak{p} \mid D(m) $，其中 $ D(m) $ 是满足 $ \log\log D(m) \ll m $ 的整数。
• 建立了如下解析不等式：对所有 $ s > 0 $，有 $ \sum_{\mathfrak{p}} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \cdot e^{s m_{\mathfrak{p}}^{\lambda}}} \leq \frac{C}{s^{1/\lambda}} $，该不等式控制了小轨道大小的密度。
• 对 $ \varphi_c(z) = z^2 + c $ 的数值实验表明，$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi_c, \alpha) $ 的增长略慢于 $ \sqrt{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}} $，且随着 $ X $ 增大，和式 $ \frac{1}{\log X} \sum_{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \leq X} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{m_{\mathfrak{p}}^2} $ 递增。
• 本文提出猜想：对密度为 1 的素理想集合，有 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2 - \epsilon} $，并质疑是否存在 $ \kappa > 0 $ 使得 $ m_{\mathfrak{p}} \geq \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{-\kappa} $ 成立。