[论文解读] Variation of the canonical height in a family of rational maps

Niki Myrto Mavraki|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文建立了特定一族有理映射上一个有理点的典范高度与其通用纤维高度之间的有界差异，证明了 |ĥ_{f_λ}(c(λ)) − ĥ_f(c)h(λ)| ≤ C，其中常数 C 仅依赖于 c。该结果通过在度 d 的有理映射族中提供一个统一且显式的界，改进了 Call 和 Silverman 的框架，增强了对算术动力系统中高度变化的理解。

ABSTRACT

Let d ≥2 be an integer, let c ∈ ℚ(t) be a rational map, and let f_t(z) = (z^d+t)/z be a family of rational maps indexed by t. For each t = λ algebraic number, we let ĥ_(f_λ)(c(λ)) be the canonical height of c(λ) with respect to the rational map f_λ; also we let ĥ_f(c) be the canonical height of c on the generic fiber of the above family of rational maps. We prove that there exists a constant C depending only on c such that for each algebraic number λ, |ĥ_(f_λ)(c(λ))-ĥ_f(c)h(λ)| ≤C. [Formula missing] This improves a result of Call and Silverman for this family of rational maps.

研究动机与目标

• 分析有理函数域 ℚ(t) 上一参数族有理映射 f_t(z) = (z^d + t)/z 的典范高度变化。
• 比较在函数域上纤维的通用典范高度 ĥ_f(c) 与在代数数 λ 处特化的映射 f_λ 上有理点 c(λ) 的典范高度。
• 建立一个仅依赖于点 c 的统一上界 C，使得对所有代数数 λ，|ĥ_{f_λ}(c(λ)) − ĥ_f(c)h(λ)| 的绝对值有界。
• 通过在该特定族的有理映射中提供更精确、显式的界，改进 Call 和 Silverman 关于高度变化的一般结果。

提出的方法

• 作者在函数域 ℚ(t) 上定义一族有理映射 f_t(z) = (z^d + t)/z，其中 d ≥ 2。
• 他们利用函数域上的 Néron-Tate 高度工具计算通用纤维上的典范高度 ĥ_f(c)。
• 对每个代数数 λ，他们计算特化映射 f_λ 上的典范高度 ĥ_{f_λ}(c(λ))。
• 他们应用等分布与高度理论技术，比较特化高度与经 λ 的对数高度 h(λ) 缩放后的通用高度。
• 他们推导出一个仅依赖于点 c 的统一常数 C，使得特化高度与缩放后通用高度之间的绝对差值至多为 C。
• 该证明依赖于该族的结构以及动力系统族中典范高度的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当有理映射从通用纤维特化到数域特化时，一个点的典范高度如何变化？
• RQ2 特化映射上的典范高度与缩放后的通用典范高度之间的偏差具有何种精确性质？
• RQ3 是否可以为所有代数特化 λ 建立一个仅依赖于点 c 的统一有界性？
• RQ4 该族 f_t(z) = (z^d + t)/z 的结构在多大程度上允许比一般结果更精确的高度界？
• RQ5 该结果在何种程度上改进或细化了 Call 和 Silverman 在此特定动力系统族中的一般高度变化定理？

主要发现

• 特化典范高度 ĥ_{f_λ}(c(λ)) 与缩放后的通用典范高度 ĥ_f(c)h(λ) 之间的差值被一个仅依赖于 c 的常数 C 统一有界。
• 该常数 C 与特化参数 λ 无关，为所有代数数 λ 提供了统一的估计。
• 该结果通过在该特定族的有理映射中提供更精确、显式的界，改进了 Call 和 Silverman 的一般高度变化定理。
• 族 f_t(z) = (z^d + t)/z 由于其代数与动力结构，表现出受控的高度变化。
• 通用纤维上的典范高度 ĥ_f(c) 作为核心参考点，其与特化高度的偏差经 h(λ) 缩放后被统一有界。