[论文解读] Variational analysis of the discontinuous Galerkin time-stepping method for parabolic equations

Norikazu Saito|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对希尔伯特空间中抽象演化方程的抛物型方程间断伽辽金（dG）时间推进法的新变分分析。通过建立离散 inf-sup 条件并利用变分公式，作者推导出 dG 方法及其有限元时空逼近的近乎最优逼近性质与最优阶误差估计，简化了对具有变系数和任意多项式次数问题的分析。

ABSTRACT

The discontinuous Galerkin (DG) time-stepping method applied to abstract evolution equation of parabolic type is studied using a variational approach. We establish the inf-sup condition or Babuška--Brezzi condition for the DG bilinear form. Then, a nearly best approximation property and a nearly symmetric error estimate are obtained as corollaries. Moreover, the optimal order error estimates under appropriate regularity assumption on the solution are derived as direct applications of the standard interpolation error estimates. Our method of analysis is new for the DG time-stepping method; it differs from previous works by which the method is formulated as the one-step method. We apply our abstract results to the finite element approximation of a second order parabolic equation with space-time variable coefficient functions in a polyhedral domain, and derive the optimal order error estimates in several norms.

研究动机与目标

• 开发一种新的变分方法，用于分析抽象抛物型演化方程的间断伽辽金（dG）时间推进法。
• 为dG双线性形式建立离散 inf-sup 条件，以实现稳健的误差分析。
• 作为 inf-sup 条件的推论，推导出近乎最优逼近与近乎对称的误差估计。
• 将抽象结果应用于具有时空变系数的二阶抛物型方程的有限元逼近。
• 在标准正则性假设下，获得多种范数下的最优阶误差估计。

提出的方法

• 将抛物型问题表述为希尔伯特三元组 $V \subset H \subset V'$ 中的时间依赖、强制且有界的算子的抽象演化方程。
• 将 dG$(q)$ 方法定义为在时空上使用时间方向 $q$ 次多项式的分片多项式进行的伽辽金逼近。
• 引入依赖于时间划分的专用 DG 范数，以分析离散 inf-sup 条件。
• 通过对偶论证以及离散测试空间与试用空间中范数的等价性，证明离散 inf-sup 条件。
• 应用连续与离散 inf-sup 条件，推导出近乎最优逼近与对称误差估计。
• 利用标准插值误差估计与抽象误差框架，获得 $L^2(J;H)$、$H^1(J;H^{-1})$ 与 $L^2(J;V)$ 范数下的最优阶误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 dG$(q)$ 方法能否通过一种避免传统一步格式的变分框架进行分析，特别是针对具有变系数的问题？
• RQ2 离散 inf-sup 条件在确保 dG$(q)$ 方法对抛物型方程的稳定性与收敛性方面起什么作用？
• RQ3 在抽象设定下，近乎最优逼近与对称误差估计如何从 inf-sup 条件中导出？
• RQ4 当 dG$(q)$ 有限元方法应用于具有时空变系数的二阶抛物型方程时，其最优收敛速率是多少？
• RQ5 抽象变分框架能否扩展至推导多种范数下的误差估计，包括 $L^2(J;H)$ 与 $H^1(J;H^{-1})$？

主要发现

• 建立了 dG 双线性形式的离散 inf-sup 条件，这是证明稳定性和收敛性的基础。
• 近乎最优逼近与近乎对称的误差估计作为 inf-sup 条件的直接推论被推导出来。
• 在适当的正则性假设下，$L^2(J;H)$ 与 $H^1(J;H^{-1})$ 范数中获得了阶为 $O(h^k + \tau^{q+1})$ 的最优阶误差估计。
• 对于有限元逼近，$L^2(J;V)$ 范数中的收敛阶也为 $O(h^k + \tau^{q+1})$。
• 对于变系数问题和任意 $q$，分析显著简化，因为它避免了传统一步格式的复杂性。
• 通过在具有时空变系数的多面体区域中的二阶抛物型方程上的应用，验证了该框架的有效性。