[论文解读] Variational approach to regularity of optimal transport maps: general cost functions

Félix Otto, Maxime Prod’homme+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种关于具有通用代价函数的最优传输映射的 𝜖-正则性的变分证明，将先前的工作扩展至 Hölder 连续密度的情形。通过利用相对于二次代价的近乎最小化性质，并在欧拉框架下使用调和逼近，作者在一次 Campanato 迭代中实现了 C²,𝛼-正则性，从而得到了关于二阶导数 Hölder 范数的精确、线性类型的估计，这些估计自然地依赖于代价函数的混合导数。

ABSTRACT

We extend the variational approach to regularity for optimal transport maps initiated by Goldman and the first author to the case of general cost functions. Our main result is an $\epsilon$-regularity result for optimal transport maps between H\"older continuous densities slightly more quantitative than the result by De Philippis-Figalli. One of the new contributions is the use of almost-minimality: if the cost is quantitatively close to the Euclidean cost function, a minimizer for the optimal transport problem with general cost is an almost-minimizer for the one with quadratic cost. This further highlights the connection between our variational approach and De Giorgi's strategy for $\epsilon$-regularity of minimal surfaces.

研究动机与目标

• 将最优传输映射正则性研究的变分方法从欧几里得代价推广至通用代价函数。
• 在代价函数的混合导数具有定量依赖关系的前提下，建立在 Hölder 连续密度之间最优传输映射的 𝜖-正则性结果。
• 提供一个统一的框架，避免依赖如 Ma–Trudinger–Wang 条件等强结构假设，尤其适用于黎曼流形。
• 证明基于近乎最小化与调和逼近的变分策略，可产生比以往方法更优、更自然的正则性估计。

提出的方法

• 引入近乎最小化的概念：若代价函数接近二次代价，则通用代价的极小化解即为二次代价的近乎极小化解。
• 采用最优传输的欧拉形式化表述，其中通量-密度对是带有诺伊曼边界条件的二次泛函的极小化解。
• 应用调和逼近：在代价函数接近二次的点附近，传输映射在欧拉框架下可被调和函数良好逼近。
• 基于解与调和函数的接近性，实施一个单步改进引理，利用通量-密度对的极小性。
• 通过单步改进引理执行 Campanato 迭代，依赖于调和函数的线性结构，从而在一步之内实现 C²,𝛼 正则性。
• 通过坐标变换与测度保持扰动（借助对合及方向平均）控制 L¹ 与 L² 范数中的位移。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将最优传输中正则性的变分方法从二次代价推广至通用代价函数？
• RQ2 最优传输映射的正则性如何定量依赖于代价函数混合导数的 Hölder 范数？
• RQ3 能否仅基于相对于二次代价的近乎最小化性质，推导出 𝜖-正则性，而无需依赖 Monge–Ampère 方程或最大值原理？
• RQ4 C²,𝛼 正则性估计对代价函数混合导数的 Hölder 半范数的最优依赖关系是什么？
• RQ5 能否简化 Campanato 迭代，使其在单步内实现 C²,𝛼 正则性，而非通过多轮迭代？

主要发现

• 本文建立了在 Hölder 连续密度之间、具有通用代价函数的最优传输映射的 𝜖-正则性结果，定量上改进了 De Philippis 与 Figalli 的结果。
• 正则性估计的齐次性与线性方程一致：二阶导数的 Hölder 半范数受密度的 Hölder 半范数与代价函数混合导数的 Hölder 半范数有界。
• 该方法在一次 Campanato 迭代中即实现 C²,𝛼 正则性，而以往方法需经历三步序列（C¹,¹⁻ → C¹,¹ → C²,𝛼）。
• 对代价函数的依赖关系是最优的：∇ₓᵧ𝑐 的 Hölder 范数与传输映射二阶导数的正则性相匹配。
• 通过使用对合及方向平均的测度保持扰动论证，导出了 L² 位移的有界性，从而得到弱 Lᵖ 估计。
• 最终估计形式为 ‖𝑢‖_{L^p(B_{R₁/4})} ≲ R₁^{d/p} ‖𝑢‖_{L²(B_{R₁})}^{1/(d+2)}，该式蕴含弱型控制，用于闭合 Campanato 迭代。