[论文解读] Variational Geometric Approach to Generalized Differential and Fenchel Conjugate Calculi in Convex Analysis

Boris S. Mordukhovich, Nguyen Mau Nam+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了一种变分几何方法，用于广义微分与Fenchel共轭微积分的凸分析，基于局部凸拓扑空间和巴拿赫空间中的精炼凸极值原理。在最小假设下，建立了关于次梯度、共轭函数和余导数的新统一微积分规则——尤其适用于最优值函数和凸图多值映射——并提供了经典凸分析结果的简化与推广证明。

ABSTRACT

This paper develops a geometric approach of variational analysis for the case of convex objects considered in locally convex topological spaces and also in Banach space settings. Besides deriving in this way new results of convex calculus, we present an overview of some known achievements with their unified and simplified proofs based on the developed geometric variational schemes.

研究动机与目标

• 在局部凸拓扑空间与巴拿赫空间中，为变分分析中的凸对象发展一个几何框架。
• 为凸函数与多值映射的Fenchel共轭、次梯度与余导数推导出新的统一微积分规则。
• 基于凸极值原理的变分几何方法，推广并简化现有凸微积分结果。
• 在最小拓扑假设下，为最优值函数与凸图多值映射建立精确的余导数微积分。

提出的方法

• 利用局部凸拓扑向量（LCTV）空间中的精炼凸极值原理，推导支撑函数与法锥的交集规则。
• 应用几何法锥交集规则，发展LCTV空间与巴拿赫空间中凸函数Fenchel共轭的微积分。
• 在闭性假设下，于巴拿赫空间中应用Attouch-Brézis技巧分析共轭函数。
• 通过几何论证推导次梯度的新和规则与链式规则，避免使用传统解析方法。
• 利用余导数交集规则，通过法锥分解对凸图多值映射进行分析。
• 通过复合映射图像的法锥表示复合映射的余导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在凸分析中利用几何变分原理计算最优值函数的Fenchel共轭？
• RQ2 复合多值映射的余导数可通过复合映射图像的法锥表示的充要条件是什么？
• RQ3 如何在局部凸空间中利用几何方法计算凸函数最大值的次微分？
• RQ4 在无完备性或闭性假设的LCTV空间中，法锥与支撑函数的精炼交集规则是什么？
• RQ5 在最小拓扑条件下，如何表征两个凸图多值映射交集的余导数？

主要发现

• 通过凸极值原理，在任意局部凸拓扑空间中建立了新的精炼支撑函数与法锥交集规则，无需完备性或闭性假设。
• 通过几何法锥微积分计算了最优值函数的Fenchel共轭，为一般凸设定提供了新表示。
• 为多值映射复合推导出新的余导数链式规则，表明复合映射的余导数可通过复合映射图像的法锥表示。
• 在两种不同约束条件（图的交集具有内点，或巴拿赫空间中差锥闭）下，表征了两个凸图多值映射交集的余导数为余导数之和。
• 通过几何变分技术，为凸微积分中的主要结果（包括次梯度的和规则与链式规则）提供了简化且统一的证明。
• 该方法通过去除Asplund空间假设并允许一般LCTV空间，扩展了[16]中的先前结果，同时保持了强健的微积分规则。