[论文解读] Variational inequalities on unbounded domains for zero-sum singular-controller vs. stopper games

Andrea Bovo, Tiziano De Angelis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

该论文通过带极小-极大结构、障碍约束和梯度约束的变分不等式，在无界域上建立了单个控制器与停止者之间零和随机博弈的存在值及最优策略。关键贡献在于证明了该值是无界域上具有抛物型变分不等式结构的Sobolev类中最大解，且无需假设系数有界或一致椭圆性。

ABSTRACT

We study a class of zero-sum games between a singular-controller and a stopper over finite-time horizon. The underlying process is a multi-dimensional (locally non-degenerate) controlled stochastic differential equation (SDE) evolving in an unbounded domain. We prove that such games admit a value and provide an optimal strategy for the stopper. The value of the game is shown to be the maximal solution, in a suitable Sobolev class, of a variational inequality of `min-max' type with obstacle constraint and gradient constraint. Although the variational inequality and the game are solved on an unbounded domain we do not require boundedness of either the coefficients of the controlled SDE or of the cost functions in the game.

研究动机与目标

• 在无界域上建立涉及奇异控制与最优停止的零和随机博弈的存在值。
• 将值函数表征为具有极小-极大结构的变分不等式在Sobolev空间中的最大解。
• 解决在无界域上处理障碍约束与梯度约束这两个硬性约束的变分不等式求解难题。
• 构建一个统一的分析与概率框架，无需假设SDE系数或收益函数有界。
• 为未来在控制器-停止者博弈中研究自由边界问题与鞍点分析奠定基础。

提出的方法

• 将博弈形式化为具有障碍约束 $ u \geq g $ 和梯度约束 $ |\nabla u|_d \leq f $ 的‘极小-极大’型抛物变分不等式。
• 使用惩罚技术同时处理变分不等式中的障碍约束与梯度约束。
• 利用Evans的分析工具与新的概率估计，建立惩罚PDE解的Sobolev范数的统一有界性。
• 在有界域上构造逼近解序列，并通过局部化与停时论证将其延拓至无界域。
• 利用不动点论证与紧致性，严格证明在有界与无界域上惩罚问题解的存在性与唯一性。
• 应用Shaefer不动点定理，证明完全耦合变分不等式系统的解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界域上，奇异控制器与停止者之间的零和随机博弈是否具有值函数？
• RQ2 该值函数能否被表征为具有极小-极大结构与两个硬性约束的变分不等式在Sobolev空间中的最大解？
• RQ3 是否可能在不假设SDE系数或收益函数有界的情况下求解此类变分不等式？
• RQ4 能否通过同时处理障碍约束与梯度约束的惩罚方法构造解？
• RQ5 停止者的最优停止规则是否具有自由边界表示，从而可重述为一个奇异控制问题？

主要发现

• 该博弈存在值，即为具有适当Sobolev类的变分不等式 (1.4) 中具有极小-极大结构的最大解。
• 值函数几乎处处满足 $[0,T) \times \mathbb{R}^d$ 上的变分不等式，且满足终端条件 $ u(T,x) = g(T,x) $。
• 解通过一种同时处理障碍约束 $ u \geq g $ 与梯度约束 $ |\nabla u|_d \leq f $ 的惩罚方法构造。
• 在不假设系数有界或一致椭圆性的情况下，建立了惩罚解Sobolev范数的统一有界性。
• 最优停止时间 $ \tau_* $ 被显式表征，从而可将博弈重述为在接触集 $ \{v = g\} $ 上具有吸收效应的奇异控制问题。
• 在有界与无界域上，惩罚PDE解的存在性与唯一性均得到严格证明，为未来分析提供了坚实基础。