[论文解读] Variational models for prestrained plates with Monge-Ampère constraint

Marta Lewicka, Pablo Ochoa+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 16

一句话总结

本文通过在Monge-Ampère约束 $\Delta^2 v = f$ 下最小化双调和能量，推导出预应变薄板的变分模型，该模型捕捉了非欧几里得弹性中的残余能量。关键贡献在于证明了在旋转对称情形下该模型临界点的存在性，建立了Monge-Ampère约束与具有正曲率的等距嵌入几何之间的联系。

ABSTRACT

We derive a new model for pre-strained thin films, which consists of minimizing a biharmonic energy of deformations $v\in W^{2,2}$ satisfying the Monge-Ampère constraint $\det abla^2v = f$. We further discuss multiplicity properties of the minimizers of this model, in some special cases.

研究动机与目标

• 基于具有不相容度量的非线性弹性，推导出预应变薄膜的降维变分模型。
• 建立Monge-Ampère约束 $\Delta^2 v = f$ 与 $\mathbb{R}^3$ 中等距嵌入几何之间的联系。
• 分析在旋转对称条件下所推导模型中极小化子的多重性与唯一性。
• 证明存在一个拉格朗日乘子 $\lambda$，使得对 $(v, \lambda)$ 满足带有自然边界条件的Euler-Lagrange方程组。
• 证明所推导的模型能够捕捉薄预应变板在厚度 $h \to 0$ 时的残余能量渐近行为。

提出的方法

• 在 $W^{2,2}(\Omega)$ 中建立能量最小化问题，约束条件为 $\det \nabla^2 v = f$，以建模预应变板的残余能量。
• 利用Gamma-收敛与渐近分析，从具有乘法分解 $\nabla u^h = F A^h$ 的3D非线性弹性中推导出2D极限模型。
• 引入一个拉格朗日函数 $\Lambda(v, \lambda)$，通过乘子 $\lambda$ 联合双调和能量与Monge-Ampère约束。
• 推导 $\Lambda$ 的Euler-Lagrange方程，得到涉及 $\nabla^2 v$、$\mathrm{cof}(\nabla^2 v)$ 与 $\lambda$ 的方程组。
• 应用径向对称假设，将PDE方程组约化为关于 $r$ 的ODE，从而实现解的显式构造。
• 验证所得系统满足 $\partial\Omega$ 上的自然边界条件，包括切向与法向分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有不相容度量的薄预应变板中，残余能量如何随厚度变化？其极限2D模型是什么？
• RQ2 Monge-Ampère约束 $\det \nabla^2 v = f$ 能否被一致地整合进预应变板的变分模型中？
• RQ3 在何种条件下，所推导模型的极小化子表现出唯一性或多重性？
• RQ4 是否存在一个拉格朗日乘子 $\lambda$，使得约束能量的临界点条件得以满足？
• RQ5 能否通过Monge-Ampère约束表征从无穷小等距到精确等距的延拓？

主要发现

• 该模型被证明是具有预应变的3D非线性弹性在 $\Gamma$-极限下的结果，得到一个2D变分问题，即在Monge-Ampère约束 $\det \nabla^2 v = f$ 下最小化双调和能量。
• 对于径向对称的 $f \in \mathcal{C}^\infty(\overline{B(0,1)})$ 且 $f > 0$，存在一个径向解 $v \in \mathcal{C}^\infty(\overline{B(0,1)})$ 满足 $\det \nabla^2 v = f$。
• 存在一个径向的拉格朗日乘子 $\lambda(r) \in \mathcal{C}^\infty(\overline{B(0,1)})$，使得 $(v, \lambda)$ 是拉格朗日函数 $\Lambda$ 的临界点。
• Euler-Lagrange方程组约化为 $(0,1)$ 内的 $\lambda'(r) = -2 \frac{r}{v'(r)} (\Delta v)'(r)$，且满足 $\lambda'(0) = 0$。
• 系统中的边界条件均被满足：由于旋转对称性，切向导数项消失，法向条件 $2v''(1) + \lambda(1)v'(1) = 0$ 成立。
• 通过椭圆正则性，证明了解 $\lambda$ 属于 $\mathcal{C}^\infty$，从而确认临界点条件在经典意义下成立。