[论文解读] Variational principle for contact Hamiltonian systems and its applications

Kaizhi Wang, Lin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文为接触哈密顿系统建立了变分原理，并将其应用于推导一阶演化偏微分方程 $ w_t + H(x,w,w_x) = 0 $ 的解半群表示公式，以及通过粘性解求解定常方程 $ H(x,u,u_x) = c $ 的遍历问题。关键贡献在于通过隐式作用函数，严格建立了接触哈密顿动力学与一阶PDE粘性解之间的联系。

ABSTRACT

In \cite{WWY}, the authors provided an implicit variational principle for the contact Hamilton's equations \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}(x,u,p),\\ \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}(x,u,p)-\frac{\partial H}{\partial u}(x,u,p)p,\quad (x,p,u)\in T^*M imes\mathbf{R},\\ \dot{u}=\frac{\partial H}{\partial p}(x,u,p)\cdot p-H(x,u,p), \end{array} ight. \end{align*} where $M$ is a closed, connected and smooth manifold and $H=H(x,u,p)$ is strictly convex, superlinear in $p$ and Lipschitz in $u$. In the present paper, we focus on two applications of the variational principle: 1. We provide a representation formula for the solution semigroup of the evolutionary equation \[ w_t(x,t)+H(x,w(x,t),w_x(x,t))=0; \] 2. We study the ergodic problem of the stationary equation via the solution semigroup. More precisely, we find pairs $(u,c)$ with $u\in C(M,\mathbf{R})$ and $c\in\mathbf{R}$ which, in the viscosity sense, satisfy the stationary partial differential equation \[ H(x,u(x),u_x(x))=c. \]

研究动机与目标

• 将接触哈密顿系统的隐式变分原理扩展至求解演化型与定常型一阶PDE。
• 通过隐式作用函数构造演化PDE $ w_t + H(x,w,w_x) = 0 $ 的解半群。
• 利用半群方法求解 $ H(x,u,u_x) = c $ 的遍历问题，即在粘性解意义下寻找解对 $ (u,c) $。
• 通过半群构造证明演化PDE粘性解的存在性与唯一性。
• 基于接触哈密顿与拉格朗日结构，提供解与极小化子的定量估计。

提出的方法

• 将隐式作用函数 $ h_{x_0,u_0}(x,t) $ 定义为所有满足 $ \gamma(0) = x_0 $、$ \gamma(t) = x $ 的Lipschitz曲线 $ \gamma $ 上作用积分的下确界。
• 利用关联的接触拉格朗日函数 $ L $ 描述满足接触哈密顿方程（1.4）的极小化子。
• 通过隐式作用函数构造 $ w_t + H(x,w,w_x) = 0 $ 的解半群，确保粘性解的存在性与唯一性。
• 在假设（H1）–（H3）下，利用 $ u $、$ \dot{\gamma} $ 与 $ p $ 的一致有界性，证明隐式作用函数的有界性与正则性。
• 通过分析长时间行为，将半群应用于遍历问题，识别出在粘性意义下满足 $ H(x,u,u_x) = c $ 的解对 $ (u,c) $。
• 利用比较原理与指数估计控制增长，确保收敛至遍历解。

实验结果

研究问题

• RQ1 接触哈密顿系统的隐式变分原理是否可用于构造演化PDE $ w_t + H(x,w,w_x) = 0 $ 的解半群？
• RQ2 在给定 $ H $ 的假设条件下，解半群是否能保证演化PDE粘性解的存在性与唯一性？
• RQ3 该半群能否用于求解 $ H(x,u,u_x) = c $ 的遍历问题，即在粘性意义下寻找满足定常方程的解对 $ (u,c) $？
• RQ4 在结构假设（H1）–（H3）下，能否对隐式作用函数及其关联极小化子建立一致有界性？
• RQ5 接触哈密顿结构（特别是其凸性与Lipschitz连续性）如何保证解半群的正则性与稳定性？

主要发现

• 演化PDE $ w_t + H(x,w,w_x) = 0 $ 的解半群通过隐式作用函数 $ h_{x_0,u_0}(x,t) $ 表示，确保了粘性解的存在性与唯一性。
• 隐式作用函数 $ h_{x_0,u_0}(x,t) $ 在 $ t \in (0,T] $ 上一致有界，其上下界仅依赖于 $ a, b, \delta, T $。
• 作用泛函的极小化子满足接触哈密顿方程（1.4），且对应的轨迹 $ (x(s), u(s), p(s)) $ 连续可微，且在紧致时间区间上关于 $ u $、$ \dot{\gamma} $ 与 $ p $ 一致有界。
• 利用解半群证明，在给定假设下，遍历问题 $ H(x,u,u_x) = c $ 存在粘性解 $ u \in C(M,\mathbb{R}) $，其中 $ c \in \mathbb{R} $。
• 本文证明了沿极小化子路径，$ |H| $ 的增长至多为指数级，且由于 $ H $ 的结构以及对 $ \dot{\gamma} $ 与 $ u $ 的有界性，$ p(s) $ 保持有界。
• 解半群具有连续性并保持粘性解性质，从而支持长时间行为分析并实现向遍历解的收敛。